5.1.1 变化率问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用 ▶导语:导数是微积分的核心内容之一,是现代数学的基本概念,蕴含着微积分的基本思想;导数定量地刻画了函数的局部变化,是研究函数性质的基本方法。本章通过具体情境,引导学生直观理解导数概念,感悟极限思想,知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质;通过本章的学习,学生能理解导数是一种借助极限的运算,掌握导数的基本运算规则;能利用导数研究简单函数的性质和变化规律,能利用导数解决简单的实际问题。 要点精准概括 4个重要概念:导数、极值点、极值、导数的几何意义 2个重要运算法则:导数的四则运算法则、复合函数求导法则 1组重要公式:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的运算公式 2个重要应用:导数的应用、实际应用 4种核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 　　在高速路上经常可以看到“区间测速”这样的提醒,这其实是在提醒司机安全驾驶,其实它测速的方式是在固定的路程上,看你用了多少时间,从而达到测速的目的。大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题。你的车几个油?这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗,有些车上还可以查看汽车的瞬时油耗。今天我们就来研究生活中的变化率问题。 1.了解平均速度与瞬时速度的关系,体会由平均速度到瞬时速度的变化过程。 2.了解割线斜率与切线斜率的关系,体会由割线斜率到切线斜率的变化过程。 1.瞬时速度 (1)瞬时速度:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 (2)瞬时速度的计算:设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h(t),则物体在t0时刻的瞬时速度为。 (3)瞬时速度与平均速度的关系:从物理的角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度。 2.曲线的割线和切线 (1)切线:设P0是曲线上一点,在点P0的附近任取一点P,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线。 (2)切线的斜率:设P0(x0,y0)是曲线y=f (x)上一点,则曲线y=f (x)在点P0(x0,y0)处的切线的斜率为k0=。 (3)切线的斜率与割线的斜率的关系:从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T。这时,割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0。 微思考 1.Δt,Δy以及平均变化率一定为正值吗? 提示:Δt,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δt不能为零,平均变化率可正可负也可为零。 2.物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗? 提示:不能,物体的瞬时速度是指某一时刻的速度,而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 求运动物体的平均速度 　　【例1】　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈0,。 (1)分别求s(t)在区间0,和,上的平均速度; (2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义。 解　(1)物体在区间0,上的平均速度为===。物体在区间,上的平均速度为===。 (2)由(1)可知-=>0,所以<。作出函数s(t)=sin t在0,上的图象,如图所示,可以发现,s(t)=sin t在0,上随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢。 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1)。 (2)再计算时间的改变量t2-t1。 (3)得平均速度=。 　　【变式训练】　一质点按运动方程s(t)=做直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为 (B) A.-1 B.- C.-2 D.2 解析　==-1=-。 类型二 求运动物体的瞬时速度 　　【例2】　(1)一质点运动的方程为s=5-3t2(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是 (D) A.-3 m/s B.3 m/s C.6 m/s D.-6 m/s 解析　v(1)=(-3Δt-6)=-6 m/s,故选D。 (2)质点M按规律s=2t2+3(位移单位:m,时间单位:s)做直线运动,则质点M在t=2 s时的瞬时速度是 (D) A.2 m/s B.6 m/s C.4 m/s D.8 m/s 解析　v(2)===(8+2Δt)=8(m/s)。 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0)。 (2)求平均速度=。 (3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度。 　　【变式训练】　在