第四章 8 第4课时黄金分割-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第4课时 黄金分割 ▶ “答案与解析”见P37 1. (2022·衡阳)在设计人体雕像时,使雕像上 部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等 于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感. 如果按此比例设计一座高度为2m的雕像, 那么该雕像下部的高度约是(结果精确到 0.01m,参考数据:2≈1.414,3≈1.732, 5≈2.236) ( ) A. 0.73m B. 1.24m C. 1.37m D. 1.42m (第2题) 2. 正五角星是我们常见的图形,如 图,C,D 分别是线段AB 的黄金 分割点.若AB=20cm,则EC+ CD= cm. 3. 如图,在△ABC 中,D 是线段AC 的黄金分 割点,且AD<CD,AB=CD. (1) 求证:∠ADB=∠ABC. (2) 若BC=4cm,求BD 的长. (第3题) 4. ★如图,线段AB 的长为1,P1是线段AB 的 黄金分割点(AP1<BP1),P2 是线段AP1 的黄金分割点(AP2<P1P2),P3 是线段 AP2的黄金分割点(AP3<P2P3)……依此 类推,则APn 的长为 . (第4题) 5. 如图,在矩形ABCD 中,CD=2,AD=4, 点P 在BC 上,将△ABP 沿AP 折叠,点B 恰好落在对角线AC 上的点E 处.在边CB 上截取CF=CE,F 是线段BC 的黄金分割 点吗? 请说明理由. (第5题) 6. 如图,E 是正方形ABCD 的边AB 的中点,T 为线段DE 上的一点,连 接BT 并延长,交AD 于点M,连接 AT 并延长,交CD 于点N,且AM=DN. (1) 试判断线段AN 与线段BM 之间的关 系,并证明. (2) 求证:M 是线段AD 的黄金分割点. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 第四章　图形的相似 {#{QQABLQ4EogiIAAAAAAhCQwWgCEKQkACCCAoGwBAAMAAAwQFABAA=}#} ② 如图①,当点E 在线段AB 上,点 F 在CA 的延长线上时, 设AF=m,则CF=4+m. ∵ AE=4AF, ∴ AE=4m,BE=4-4m. 同①,易得△EBD∽△DCF. ∴ BE CD= BD CF ,即4-4m 23 =234+m ,解得 m=-3+ 132 或m=-3- 132 (不 合题意,舍去). ∴ AF=-3+ 132 . ③ 如图②,当点E 在线段BA 的延长 线上,点F 在线段AC上时, 设AF=m. ∵ AE=4AF, ∴ AE=4m,BE=4+4m,CF= 4-m. 同①,易得△EBD∽△DCF, ∴ BE CD= BD CF ,即4+4m 23 =234-m ,解得 m=3+ 132 或m=3- 132 (不合题 意,舍去). ∴ AF=3+ 132 . 综上 所 述,AF 的 长 为5- 212 或 -3+ 13 2 或3+ 13 2 . (第8题) 第4课时 黄金分割 1. B 2. (105-10) 3. (1) ∵ D 是线段AC 的黄金分割 点,且AD<CD, ∴ AD∶CD=CD∶AC. ∵ AB=CD, ∴ AD∶AB=AB∶AC. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △ABD∽△ACB. ∴ ∠ADB=∠ABC. (2) 由(1),得△ABD∽△ACB. ∴ BD CB= AB AC. ∵ AB=CD, ∴ BD CB= CD AC. ∵ D 是线段AC 的黄金分割点,且 AD<CD, ∴ CD= 5-12 AC. ∴ BD CB= 5-1 2 . ∵ BC=4cm, ∴ BD=(25-2)cm. 4. 3-5 2 n [解析]∵ 线段AB 的 长为1,P1是线段AB 的黄金分割点 (AP1<BP1),∴ BP1= 5-1 2 AB. ∴ AP1=AB- 5-1 2 AB= 3-5 2 AB= 3-5 2 .∵ P2 是线段AP1 的黄金分 割点(AP2<P1P2),∴ 易得AP2= 3-5 2 AP1= 3-5 2 2 .∵ P3 是线 段 AP2 的 黄 金 分 割