第一章 2 第3课时矩形的性质与判定的应用-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

第3课时 矩形的性质与判定的应用 ▶ “答案与解析”见P7 1. 如图,在四边形ABCD 中,AB=DC,AD= BC,连接AC,BD,AC 与BD 交于点O.若 AO=BO,AD=3,AC= 13,则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 (第1题) (第2题) 2. (2023·菏泽期末)如图,在矩形ABCD 中, BC=20cm,点P,Q 分别从点B,D 同时出 发,按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动, 点P,Q 的速度分别为3cm/s和1cm/s,则 最快 s后,四边形ABPQ 成为矩形. 3. 如图,将▱ABCD 的边AB 延长到点E,使 BE=AB,连接DE,交边BC 于点F. (1) 求证:△BEF≌△CDF. (2) 连接BD,CE,若∠BFD=2∠A,求证: 四边形BECD 是矩形. (第3题) 4. 如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A 在OB 上,四边形ABCD 是矩形,连接AC,BD 交 于点E,连接OE 交AD 于点F,点G 在OF 上,连接AG.有下列四个判断:① OE 平分 ∠BOD;② OF=DB;③ DF= 2AF;④ 若 G 是线段OF 的中点,则△AEG 是等腰直角 三角形.其中,正确的个数是 ( ) (第4题) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. ★(2022·丽水)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点B 与点D 重合 点A 落在点P 处,折痕为EF. (1) 求证:△PDE≌△CDF. (2) 若CD=4cm,EF=5cm,求BC 的长. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 数学(北师版)九年级上 {#{QQABLQYAoggoABJAAQgCQwXgCEGQkBACCIoGAAAEMAAAQRNABAA=}#} ∠MEA=∠NEP, EA=EP, ∠EAM=∠EPN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAM≌△EPN. ∴ EM=EN. 第3课时 矩形的性质 与判定的应用 1. C 2. 5 3. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∵ BE=AB, ∴ BE=CD. ∵ AB∥CD, ∴ ∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF. ∴ △BEF≌△CDF. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB ∥CD,AB =CD,∠A = ∠DCB. ∵ BE=AB, ∴ CD=BE. ∴ 四边形BECD 是平行四边形. ∴ BF=CF,EF=DF. ∵ ∠BFD=2∠A, ∴ ∠BFD=2∠DCF. 又∵ ∠BFD=∠DCF+∠FDC, ∴ ∠DCF=∠FDC. ∴ DF=CF. ∴ DE=BC. ∴ 四边形BECD 是矩形. 4. A [解析]∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ BE=DE.∵ BO=DO,∴ OE 平分∠BOD.故①正确.∵ 四边形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠DAB =90°. ∴ ∠OAD=180°-∠DAB=90°= ∠DAB,∠ABD + ∠ADB =90°. ∵ BO=DO,BE=DE,∴ OE⊥BD. ∴ ∠BOE + ∠OBE = 90°. ∴ ∠BOE=∠ADB.∵ ∠BOD = 45°,∠OAD=90°,∴ ∠ADO=45°= ∠BOD.∴ AO=AD.∴ △AOF≌ △ADB.∴ OF=DB.故②正 确. ∵ △AOF≌△ADB,∴ AF=AB.连 接BF.∴ 易得BF= 2AF.由题意, 得OE 垂直平分线段BD.∴ DF= BF.∴ DF= 2AF.故③正确.当G 是OF 的中点时,∵ ∠OAF=90°, ∴ AG=OG.∴ ∠AOG=∠OAG. ∵ ∠AOD=45°,OE 平分∠AOD, ∴ ∠OAG=∠AOG=12∠AOD= 22.5°.∴ ∠FAG=90°-∠OAG= 67.5°,∠ADB = ∠AOF =22.5°.