阶段综合检测（1） 导数及其应用（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第2册（湘教版2019）

阶段综合检测（一） 导数及其应用 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝(　 ) A.5 B.6 C.7 D.－12 解析：选B　∵f(x)＝3x2＋2xf′(2)，∴f′(x)＝6x＋2f′(2)，∴f′(2)＝12＋2f′(2).∴f′(2)＝－12. ∴f′(x)＝6x－24.∴f′(5)＝6×5－24＝6. 2.已知f(x)＝x2ln 2x，若f′(x0)＝x0，则x0等于(　 ) A. B.e C.ln 2 D.1 解析：选A　因为f(x)＝x2ln 2x，所以f′(x)＝2xln 2x＋x，又f′(x0)＝x0，所以2x0ln 2x0＝0，因为x0>0，所以ln 2x0＝0，所以x0＝. 3.已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　 ) A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1 C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1 解析：选D　∵y′＝aex＋ln x＋1， ∴切线的斜率k＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 又∵切线方程为y＝2x＋b， ∴即a＝e－1，b＝－1. 4.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元，销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万千克)满足y＝－x3＋ax2＋x(a为常数)，若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　 ) A.6万千克 B.8万千克 C.7万千克 D.9万千克 解析：选B　设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g(x)万元，则g(x)＝－x3＋ax2＋x－2－x＝－x3＋ax2－2(0<x≤10). ∵g(3)＝－×33＋a×32－2＝， ∴a＝2，即g(x)＝－x3＋2x2－2，则g′(x)＝－x2＋4x＝－x(x－8)， 当x∈(0,8)时，g′(x)>0，当x∈(8,10)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(0,8)上单调递增，在(8,10)上单调递减，故当x＝8时，g(x)取得最大值， 故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克. 5.函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　f′(x)＝4ax3－12ax2＝4ax2(x－3).令f′(x)＝0，得x＝3或x＝0(舍去). 当1≤x<3时，f′(x)<0，当3<x≤4时，f′(x)>0， 故x＝3为极小值点，也是最小值点. ∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b， ∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b， ∴解得 ∴a＋b＝. 6.若x＝1是函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的极值点，则a的值为(　 ) A.－2 B.3 C.－2或3 D.－3或2 解析：选B　f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)，由题意可知，f′(1)＝1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0，解得a＝3或a＝－2. 当a＝3时，f′(x)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)， 当x>1或x<－9时，f′(x)>0，函数单调递增；当－9<x<1时，f′(x)<0，函数单调递减，显然x＝1是函数f(x)的极值点，符合题意； 当a＝－2时，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数是R上的增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B. 7.点A是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点A到直线y＝2x－1的最小距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　不妨设f(x)＝x2－ln x，定义域为(0，＋∞)，对f(x)求导可得f′(x)＝3x－，令f′(x)＝2，解得x＝1.当x＝1时，y＝，则此时该点到直线y＝2x－1的距离为最小，根据点到直线的距离公式可得d＝＝. 8.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 解析：选C　 令f(x)＝，所以f′(x)＝， 所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为a＝＝＝＝f(4)，b＝＝＝f(e)，c＝＝＝f(9)，所以f(e)>f(4)>f(9)，即b>a>c.故选C. 二、多项选择题(本题共4小题，每