第2章 空间向量与立体几何 章末小结与质量评价（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1.数形结合思想 向量方法是解决立体几何问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而建立了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想.向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起. 2.转化与化归思想 空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了方法，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.一般地，先将几何问题转化为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题，这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要. 二、把握重点·常考题型集训 题型一　空间向量的运算　 A.(0，3，－6)　　　　　　　 B.(0，6，－20) C.(0，6，－6) D.(6，6，－6) 答案：B　 答案：A　 3.如图，在平行六面体ABCD-­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求： 题型二　空间向量与线面位置关系　 4.(多选)已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3，1)，则下列结论正确的是(　 ) 答案：ACD　 (1)AM∥平面BDE. (2)AM⊥平面BDF. 证明：∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，且EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CD，EC⊥CB.又CD⊥CB，∴以C为原点，分别以CD，CB，CE所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图. 题型三　空间向量与空间角　 6.已知在正四面体A­-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　 ) 答案：B　 解析：作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 8.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°.求： (1)直线AD与直线BC所成角的大小； (2)直线AD与平面BCD所成角的大小； (3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. 9.(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150°时，求B2P. 解：(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0,2,2)，C2(0，0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)， 令x1＝m－1，得n1＝(m－1,3－m,2). 设平面A2C2D2的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 整理得m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3， 所以P(0,2,1)或P(0,2,3)， 所以B2P＝1. 题型四　空间向量与距离　 10.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　 ) 答案：A　 (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离. 向量法求距离的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系；写出(求出)相关点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的距离公式计算.所有的距离最后都可以归结为空间两点的距离和点到面的距离.　　 题型技法 BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 1.已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　 ) 解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20). 2.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，＝c，则＝(　 ) A.－a＋b＋c B.a＋b－c C.a－b－c D.－a＋b＋c 解析：因为点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，＝.又六面体ABCD­A1B1C1D1为平行六面体，且＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b，＝b－c，所以＝＋＋＝－＋＋＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c. (1)·； (2)AB′的长； (3)AC′的长. 解：(1)·＝||||cos∠