第1章 导数及其应用 章末小结与质量评价（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1.数形结合思想在利用导数研究函数零点(方程根)中的应用：涉及函数的零点(方程根)问题，关键是将函数零点(方程根)转化为两函数的图象交点问题，利用导数工具确定函数的单调性、极值与最值的情况，确定函数的大致图象，从而确定参数的取值范围. 2.本章在研究函数单调性、极值、最值及不等式恒成立等问题中，函数解析式中含有参数时，往往需要对参数进行分类讨论.在分类讨论时，首先要确定好分类的对象以及分类的标准和依据；其次在讨论时还要遵循不重复不遗漏的原则，逐级逐类进行讨论；最后要把讨论的结果进行整合. 3.转化与化归思想在不等式恒成立问题中的应用：转化与化归思想在利用导数研究函数中的应用广泛，在本章中解决一些恒成立问题或存在性问题，我们可以将问题转化为与之等价的最值问题，解题过程中体现了转化的数学思想. 二、把握重点·常考题型集训 题型一　导数的几何意义及应用　 1.曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为(　 ) A.y＝3x＋3 B.y＝3x＋1 C.y＝－3x－1 D.y＝－3x－3 答案：A　 解析：易得a＝(－1)3＋1＝0，故切点为(－1,0)，又y′＝3x2，所以y′|x＝－1＝3，所以切线方程为y＝3(x＋1)＝3x＋3，故选A. 2.若曲线y＝ex－1＋ln x在点(1,1)处的切线与直线ax＋y＝0平行，则a＝(　 ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：C　 3.若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　 ) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 答案：D　 解析：当x→－∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于0，当x→＋∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于＋∞，结合图象可知，两切线的交点应该在x轴上方，且在曲线y＝ex的下方，∴0<b<ea，故选D. 答案：6 题型技法 题型二　函数的单调性与导数　 5.函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　 ) 答案：C A.a∈(－∞，－3] B.a＝－3 C.a＝3 D.a∈(－∞，3] 答案：B　 7.若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) 答案：A 8.设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间. 解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx， 所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. (2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex. 由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知， f′(x)与1－x＋ex－1同号. 令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1. 所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞， 1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增. 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞). 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 函数的单调性与导数的关注点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时，转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.　　 题型技法 题型三　利用导数研究函数的极值、最值　 9.已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R). (1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围. 解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9，当x变化时，有下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1，3) 3 (3,6) 6 f′(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f(x) c－2 递增 极大值c＋5 递减 极小值c－27 递增 c＋54 ∴x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54. 要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可， 当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54； 当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18. ∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞). (1)求函数y＝f(x)在x＝