1.3.1 第2课时 函数单调性的综合问题（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[题点一] 讨论含参数的函数的单调性 [典例1]　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性. 第 2 课时　函数单调性的综合问题 拓展 若把本例的条件“a≥0”改为“a<0”，结果如何？ 设g(x)＝2x2－a，当a<0时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 方法技巧 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误. (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.　　 对点训练 解：y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)， 令y′<0，得(x－a)(x－a2)<0. ①当a<0时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ②当0<a<1时，不等式的解集为a2<x<a，此时函数的单调递减区间为(a2，a)； ③当a>1时，不等式的解集为a<x<a2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)； ④当a＝0或a＝1时，y′≥0，此时，无单调递减区间. 综上所述，当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；当0<a<1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2，a)；当a＝0或a＝1时，无单调递减区间. [题点二] [典例2]　已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围. [解]　f′(x)＝3x2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立. 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞， 0]. 由函数的单调性求参数的取值范围问题 拓展 1.函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1, 1)内为减函数，试求a的取值范围. 解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1, 1)上恒成立，得a≥3x2在(－1, 1)上恒成立.因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3. 即当a的取值范围为[3, ＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数. 2.函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值. 方法技巧 1.已知f(x)在区间(a，b)内的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立. 2.解决恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.　　 对点训练 解：f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1， 因为函数在区间(1,4)上为减函数， 所以当x∈(1, 4)时，f′(x)≤0， 又因为函数在区间(6, ＋∞)上为增函数， 所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6， 所以5≤a≤7. 即实数a的取值范围为[5, 7]. [题点三] A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 利用函数的单调性比较大小、解不等式 A.(－∞，－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1，＋∞) ∴g(x)>g(0)＝0，可得c>b.综上，a>c>b. [答案]　(1)D　(2)A 方法技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，因此熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果. (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)，更一般地，遇到f′(x)>a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数(若a＝0，则无须构造)，则可构造h(x)＝f(x)－ax.　　 (2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x). (3)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x). 对点训练 A.x<y B.x>y C.|x|<|y| D.|x|>|y| 答案：D　 解析：构造函数f(x)＝xsin x， 且f′(x)＝sin x＋xcos x. 所以xsin x－ysin y>0⇔xsin x>ysin y⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|，故