1.3.1 第1课时 函数的单调性与导数（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.3.1　函数的单调性与导数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 重点 难点 重点：函数单调性与导数关系的应用. 难点：理解函数的单调性与导数的关系. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容 3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1.函数的单调性与其导数的正负的关系 若在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则函数f(x)在此区间内_________，(a，b)为f(x)的______________； 若在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则函数f(x)在此区间内_________，(a，b)为f(x)的______________. 单调递增 单调递增区间 单调递减 单调递减区间 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).也就是说，在某区间内f′(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件. (2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题 ①定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. ②注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点. ③单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开. 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内， 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭” (向上或向下) 越小 慢 比较“平缓” (向上或向下) 1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　 ) A.(－∞，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，＋∞) 答案：D　 解析：∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，故选D. A.(－1,1] B.(0,1) C.[1，＋∞) D.(0，＋∞) 答案：B　 3.函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　 ) A.f′(3)>0 B.f′(3)<0 C.f′(3)＝0 D.f′(3)的正负不确定 答案：B　 解析：由图象可知，函数f(x)在(1,5)内单调递减，则在(1,5)内有f′(x)<0，故f′(3)<0. [题点一] 利用导数判断或证明函数的单调性 第 1 课时　函数的单调性与导数 方法技巧 利用导数判断或证明函数单调性的思路 对点训练 1.函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　 ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 答案：A　 解析：∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数. [题点二] 利用导数求函数的单调区间 [解]　(1)f′(x)＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)， 由f′(x)>0，得x<2或x>4；由f′(x)<0，得2<x<4. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)； 单调递减区间是(2,4). 方法技巧 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域. (2)求导数y′＝f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.　　 对点训练 3.函数f(x)＝x(x－2)2的单调递减区间是(　 ) 答案：C　 解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， [题点三] [典例3]　画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象. [解]　由题可知函数f(x)的定义域为R， f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2). 由f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞3， ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞). 由f ′(x)＜0，得－2＜x＜3， ∴函数f(x)的单调递减区间是(－2,3). 由导数的信息画函数的大致图象 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一). 方法技巧 通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变