第2章 空间向量与立体几何 章末小结（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1.数形结合思想 向量方法是解决立体几何问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而建立了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想.向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起. 2.转化与化归思想 空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了方法，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.一般地，先将几何问题转化为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题，这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要. 二、把握重点·常考题型集训 题型一　空间向量的运算　 1.已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　 ) A.(0,3，－6)　　　　　　　 B.(0,6，－20) C.(0,6，－6) D.(6,6，－6) 解析：选B　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20). 2.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，＝c，则＝(　 ) A.－a＋b＋c B.a＋b－c C.a－b－c D.－a＋b＋c 解析：选A　因为点M在AC上，且AM＝MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，＝.又六面体ABCD­A1B1C1D1为平行六面体，且＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b，＝b－c，所以＝＋＋＝－＋＋＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c. 3.如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求： (1)·；(2)AB′的长； (3)AC′的长. 解：(1)·＝||||cos∠BAA′＝5×4×cos 60°＝5×4×＝10. (2)∵＝＋，∴||＝＝＝＝. (3)∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×4×5×＋2×3×5×＝85. ∴||＝，即AC′的长为. 题型二　空间向量与线面位置关系　 4.(多选)已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3，1)，则下列结论正确的是(　 ) A.⊥ B.与共线的单位向量是(1,1,0) C.与夹角的余弦值是 D.平面ABC的一个法向量是(1，－2,5) 解析：选ACD　由题意可得＝(2,1,0)，＝(－1，2,1)，(－3,1,1).·＝－2＋2＋0＝0，故⊥，故A正确.(1,1,0)不是单位向量，且(1,1,0)与＝(2,1,0)不共线，故B错误.cos〈，〉＝＝＝，故C正确.设m＝(1，－2,5)，则m·＝2－2＋0＝0，m·＝－1－4＋5＝0，所以m⊥，m⊥.又AB∩AC＝A，所以平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)，故D正确. 5.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求证： (1)AM∥平面BDE. (2)AM⊥平面BDF. 证明：∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，且EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CD，EC⊥CB.又CD⊥CB，∴以C为原点，分别以CD，CB，CE所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图.由AB＝，AF＝1，得A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，，1).∵M为EF的中点，∴M的坐标为.∴＝. (1)设AC∩BD＝N，连接NE，则N.∴＝，∴＝.∵NE与AM不共线，∴AM∥NE.又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE. (2)易求得＝(，－，0)，＝(0，，1)，∴·＝－×＋×(－)＋1×0＝0，·＝－×0＋×＋1×1＝0，∴AM⊥BD，AM⊥DF.又BD∩DF＝D，∴AM⊥平面BDF. 题型三　空间向量与空间角　 6.已知在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　 ) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：选B　作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB＝2，则O(0，0,0)，A，C，E，＝，＝， 所以cos〈O，〉＝＝＝. 所以CE与平面BCD的夹角的正弦值为. 7.如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二