第1章 导数及其应用 章末小结（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1.数形结合思想在利用导数研究函数零点(方程根)中的应用：涉及函数的零点(方程根)问题，关键是将函数零点(方程根)转化为两函数的图象交点问题，利用导数工具确定函数的单调性、极值与最值的情况，确定函数的大致图象，从而确定参数的取值范围. 2.本章在研究函数单调性、极值、最值及不等式恒成立等问题中，函数解析式中含有参数时，往往需要对参数进行分类讨论.在分类讨论时，首先要确定好分类的对象以及分类的标准和依据；其次在讨论时还要遵循不重复不遗漏的原则，逐级逐类进行讨论；最后要把讨论的结果进行整合. 3.转化与化归思想在不等式恒成立问题中的应用：转化与化归思想在利用导数研究函数中的应用广泛，在本章中解决一些恒成立问题或存在性问题，我们可以将问题转化为与之等价的最值问题，解题过程中体现了转化的数学思想. 二、把握重点·常考题型集训 题型一　导数的几何意义及应用　 1.曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为(　 ) A.y＝3x＋3 B.y＝3x＋1 C.y＝－3x－1 D.y＝－3x－3 解析：选A　易得a＝(－1)3＋1＝0，故切点为(－1,0)，又y′＝3x2，所以y′|x＝－1＝3，所以切线方程为y＝3(x＋1)＝3x＋3，故选A. 2.若曲线y＝ex－1＋ln x在点(1,1)处的切线与直线ax＋y＝0平行，则a＝(　 ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析：选C　由y＝ex－1＋ln x，得y′＝ex－1＋，所以曲线y＝ex－1＋ln x在点(1,1)处的切线的斜率为e1－1＋＝2，因此切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为曲线y＝ex－1＋ln x在点(1,1)处的切线与直线ax＋y＝0平行，直线ax＋y＝0的斜率为－a，所以－a＝2，即a＝－2.故选C. 3.若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　 ) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 解析：选D　当x→－∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于0，当x→＋∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于＋∞，结合图象可知，两切线的交点应该在x轴上方，且在曲线y＝ex的下方，∴0<b<ea，故选D. 4.若函数f(x)＝ln x－＋m在(1，f(1))处的切线过点(0,2)，则实数m＝______. 解析：由题意可得f′(x)＝＋，则f′(1)＝2，且f(1)＝m－2，所以＝2，解得m＝6. 答案：6 [题型技法] 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.　　 题型二　函数的单调性与导数　 5.函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　 ) A. B. C. D.∪ 解析：选C　因为函数f(x)＝2x2－ln x，x>0，所以f′(x)＝4x－＝＝，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的单调递减区间是.故选C. 6.已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，则(　 ) A.a∈(－∞，－3] B.a＝－3 C.a＝3 D.a∈(－∞，3] 解析：选B　由题意得f′(x)＝＋2x＋a<0的解集为，所以不等式2x2＋ax＋1<0的解集为，所以＋1＝－，解得a＝－3. 7.若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D.(－∞，2) 解析：选A　由f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若f(x)在区间(0,2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4≥0在(0,2)上恒成立，即a≥－在(0,2)上恒成立.令g(x)＝－，x∈(0,2)，则g′(x)＝＋>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，故g(x)<－＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，＋∞). 8.设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间. 解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx， 所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. 依题设，即 解得 (2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex. 由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知， f′(x)与1－x＋ex－1同号. 令g(x)＝1－x＋ex－