1.2.2 函数的和差积商求导法则（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.2.2　函数的和差积商求导法则 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数. 2.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 重点 难点 重点：导数的四则运算及运用. 难点：利用导数四则运算解决综合问题. 求导法则 (cf(x))′＝cf′(x) (f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)， (f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x) (f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ′＝－(f(x)≠0) ′＝(f(x)≠0) 1.设y＝－2exsin x，则y′等于(　 ) A.－2excos x B.－2exsin x C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x) 解析：选D　∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x). 2.函数y＝的导数是(　 ) A.－ B.－sin x C.－ D.－ 解析：选C　y′＝′＝ ＝＝－. 3.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a＝________. 解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝. 答案： —————————————————————————————————— 利用导数四则运算法则求导数 —————————————————————————————————————— [典例1]　求下列函数的导数. (1)y＝x4－2x2－3x＋3； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xtan x. [解]　(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3. (2)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11. 法二：因为(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6. 所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝(xtan x)′＝′＝ ＝＝. [方法技巧] 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.　　 [对点训练] 1.若函数f(x)＝在x＝a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为________. 解析：∵f(x)＝，∴f(a)＝，又∵f′(x)＝′＝，∴f′(a)＝. 由题意知f(a)＋f′(a)＝0，∴＋＝0，∴2a－1＝0，∴a＝. 答案： 2.分别求下列函数的导数. (1)y＝x·sin x·ln x； (2)y＝x3ex； (3)y＝x－sin cos . 解：(1)y′＝(x·sin x·ln x)′＝[(x·ln x)·sin x]′ ＝(x·ln x)′·sin x＋(x·ln x)·(sin x)′ ＝·sin x＋(x·ln x)·cos x ＝sin x＋ln x·sin x＋x·ln x·cos x. (2)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex. (3)因为y＝x－sin x，所以y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. ———————————————————————————————— 导数四则运算法则的应用 ———————————————————————————————————— [典例2]　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程. [解]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0). 即7x＋y－3＝0. [方法技巧] 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素