9.1.2 线性回归方程（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

9.1.2　线性回归方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．结合具体实例，了解线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握线性回归模型参数的最小二乘法． 2．针对实际问题，会用线性回归模型进行预测． 重点 难点 重点：求线性回归方程并用线性回归方程进行预测． 难点：用最小二乘法求线性回归方程. 1．随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全确定，它们之间是统计相关关系，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差． 2．随机误差产生的主要原因 (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差． 3．线性回归模型中a，b值的求法 y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型． a，b的估计值为，，则 其中＝i，＝i. 4．回归直线和线性回归方程 直线＝＋x称为回归直线，此直线方程称为线性回归方程，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)在线性回归模型中，ε是bx＋a预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量．(　 ) (2)用最小二乘法求出的可能是正的，也可能是负的．(　 ) (3)随机误差平方和越大，线性回归模型的拟合效果越好．(　 ) (4)线性回归方程＝x＋必过点(，)．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)在如图所示的四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是(　 ) 解析：选AC　结合散点图可知A、C中的散点大体分布在一条直线的左、右两侧． 3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并分别求得相关系数r与随机误差的平方和m如表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则________同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性． 解析：由题图中数据可得丁的相关系数为0.85最大，更接近1，随机误差的平方和m最小，故丁同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性． 答案：丁 —————————————————————————————————— 求线性回归方程 —————————————————————————————————————— [典例1]　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ＝x＋； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为7的同学的判断力． [解]　(1)作出散点图如图所示． (2)＝＝9，＝＝4， ＝＝＝0.7， ＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为＝0.7x－2.3. (3)由(2)中线性回归方程知，当x＝7时， ＝0.7×7－2.3＝2.6， 故预测记忆力为7的同学的判断力约为2.6. [方法技巧] 1．求线性回归方程的基本步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； (2)计算：，，，，iyi； (3)代入公式求出＝x＋中参数，的值； (4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计． [提醒]　只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的线性回归方程毫无意义． 2．使用线性回归方程进行预测时，需注意以下问题 (1)线性回归方程只适用于所研究的样本的总体． (2)线性回归方程一般都有时效性． (3)自变量的取值不能离样本数据的范围太远，一般自变量的取值在样本数据范围内． [对点训练] 1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据： 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解：(1)＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， ＝＋20＝80＋20×8.5＝250， 所以线性回归方程为＝－20x＋250. (2)工厂获得的利润 z＝(x－4)＝－20x2＋330x－1 000， 由二次函数知识可知当x＝时， zmax＝361.25(元)． 故该产品的单价应定为8.25元． ———————