5.1.2 导数的概念及其几何意义（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．1.2　导数的概念及其几何意义 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达式． 2.进一步体会极限思想，会利用导数的概念求函数在某点处的导数． 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 重点 难点 重点：导数的概念、几何意义及应用． 难点：对导数概念的理解. 1．函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． Δx是自变量的变化量，它可以为正、为负，但不为零；Δy是相应函数值的变化量，它既可以为正，可以为负，也可以等于零． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(瞬时变化率) 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　 ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　 ) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　 ) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　 ) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　 ) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　 ) A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 解析：选A　＝＝＝2.1. 1．切线的定义 如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)．这就是导数的几何意义．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f(x)在x＝x0 附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线 与x轴平行) 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 1.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　 ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：选B　由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处的斜率，由题图可知f′(xA)<f′(xB)． 2.如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　 ) A. B．3 C．4 D．5 解析：选A　由题图得，kl＝＝，∴f′(4)＝. 从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 导数f′(x0)与导函数f′(x)之间的区别与联系 区别 (1)f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量； (2)f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a, b)内每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a, b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x) 联系 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，也就是求函数在x＝x0处的导数的方法之一 1．函数y＝在x＝2处的导数为________． 答案：－1 2．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m＝________. 解析：f′(x)＝