5.1.1 变化率问题（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

　 5．1.1　变化率问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 通过实例分析，经历由平均变化率(平均速度)过渡到瞬时变化率(瞬时速度)的过程． 重点 难点 重点：会计算平均速度和瞬时变化率． 难点：理解割线的斜率与切线的斜率的关系. 瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 瞬时速度与平均速度的关系 从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度 瞬时速度的计算 设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 (1)“Δt→0”读作Δt趋近于0，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零． (2)Δt，Δs在变化中都趋近于0，其比值趋近于一个确定的常数，此时该常数才称为t0时刻的瞬时速度． (3)“lim”是“limit”的缩写，意为极限， ＝l表示当Δt→0时，以常数l为极限． 1．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)内，该质点的位移增量等于(　 ) A．6Δt＋(Δt)2 B．6＋Δt＋ C．3Δt＋(Δt)2 D．9＋Δt 答案：A 2．一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝5t－t2，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度是(　 ) A．－1 m/s B．1 m/s C．2 m/s D．6 m/s 解析：选A　∵＝＝5－2t－Δt，∴该物体在t＝3 s时的瞬时速度为 ＝－1 m/s. 1．割线的斜率 设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率． 2．抛物线的切线 设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线． 3．切线的斜率与割线的斜率的关系 从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.即k＝ . 1．过曲线y＝x2上两点A(2,4)和B(2＋Δx,4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________． 解析：因为kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1. 答案：4.1 2．抛物线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标为________． 答案：－3 ————————————————————————————————— 求运动物体的平均速度 ————————————————————————————————————— [典例1]　已知一物体的运动方程为f(t)＝3t2＋5，求： (1)f(t)从0.1到0.2的平均速度； (2)f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度． [解]　(1)因为f(t)＝3t2＋5，所以从0.1到0.2的平均速度为 ＝0.9. (2)f(t0＋Δt)－f(t0)＝3(t0＋Δt)2＋5－(3t＋5)＝3t＋6t0Δt＋3(Δt)2＋5－3t－5＝6t0Δt＋3(Δt)2. 函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度为 ＝6t0＋3Δt. [方法技巧] 求运动物体的平均速度的步骤 第一步，求时间的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求位移的变化量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均速度＝.　　 [对点训练] 1.如图所示，某物体的运动方程y＝f(x)在A，B两点间的平均速度等于(　 ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B　平均速度为＝－1. 2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　 ) A.＝＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析：选A　由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以＝＝. —————————————————————————————————— 求运动物体的瞬时速度 —————————————————————————————————————— [典例2]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [解]　∵＝ ＝＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [拓展] 1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵＝ ＝＝1＋Δt， ∴ (1＋Δt)＝1