专题04 平面向量的内积-【中职专用】高二数学同步必备知识清单（高教版2021•拓展模块一 上册）

专题04平面向量的内积 1、 向量的夹角 对于非零向量和 , 作,称射线成的夹角为向量和 的夹角，记作 当和同向时，当和反向时，，因此平面向量夹角的范围为 2、 向量的内积 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的内积（或数量积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 二、内积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 三、内积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 【题型1 平面向量的内积概念】 【题型2 平面向量的内积的运算】 【题型一】 平面向量的数量积的运算 策略方法 平面向量数量积的三种运算方法 【典例1】已知向量，且两向量夹角为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】已知向量的夹角为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二 平面向量的模长 策略方法 求向量模的方法 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a． (2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2． 【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【典例2】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 题型三 平面向量的夹角 策略方法 求向量夹角问题的方法 【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（    ） A．45° B．60° C．135° D．150° 【典例2】已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A．45° B．135° C．60° D．120° 一、单选题 1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 2．已知向量和的夹角为，且，则（   ） A．-10 B．-7 C．-4 D．-1 3．有4个式子：①；②；③；④； 其中正确的个数为(　　) A． B． C． D． 4．设为向量, 则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 7．平面向量与的夹角为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，与的夹角为60°，则（    ） A． B．7 C．3 D． 11．已知平面向量，，且，则（    ） A．10 B．14 C． D． 12．在中，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 13．在四边形中，若，且，则该四边形是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 14．已知向量满足，则（    ） A．8 B． C． D．4 15．已知平面向量的夹角为，且，则（    ） A． B． C． D． 16．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量的内积 1、 向量的夹角 对于非零向量和 , 作,称射线成的夹角为向量和 的夹角，记作 当和同向时，当和反向时，，因此平面向量夹角的范围为 2、 向量的内积 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的内积（或数量积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 二、内积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 三、内积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 【题型1 平面向量的内积概念】 【题型2 平面向量的内积的运算】 【题型一】 平面向量的数量积的运算 策略方法 平面向量数量积的三种运算方法 【典例1】已知向量，且两向量夹角为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用数量积的定义即可得到答案. 【详解】， 故选：A. 【典例2】已知向量的夹角为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积公式和运算律计算即可. 【详解】. 故选：D. 题型二 平面向量的模长 策略方法 求向量模的方法 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a． (2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2． 【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求，再利用模长公式可得答案. 【详解】因为，均为