专题03 平面向量的概念及其线性运算-【中职专用】高二数学同步必备知识清单（高教版2021•拓展模块一 上册）

专题03 平面向量的概念及其线性运算 一、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时， 注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． 三、平面向量基本定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得存在，使得． （3）中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【常用结论】 ①向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． ②特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 【题型1 平面向量的概念】 【题型2 平面向量的线性运算】 【题型3 共线向量定理的应用】 【题型1】 平面向量的概念 解答与向量有关概念的四个关注点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的． (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． (4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量． 【典例1】（多选题）下列说法正确的是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等 【题型二】 平面向量的线性运算 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 【典例1】（多选题）已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，向量，，，则向量（    ）    A． B． C． D． 【题型三】共线向量定理的应用 共线向量定理的三个应用 【典例1】（单选题）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（    ） A．向量与是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 3．（2023·全国·高三专题练习）给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量，必有 D．若满足且与同向，则 5．（2023·广东揭阳·校考二模）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 6．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）