第十二章12.3角平分线的性质（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（人教版）

12.3　角的平分线的性质 12.3　角的平分线的性质（第1课时） 教学目标 1.掌握作已知角的平分线的方法，掌握角平分线定理. 2.经历角的平分线的性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理.能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题. 3.体会通过动手操作感知和运用推理论证获取规律的方法. 教学重点难点 重点：掌握角的平分线的性质定理，利用尺规作已知角的平分线. 难点：角的平分线的性质定理的应用. 教学过程 导入新课 1.复习角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线. 2.提出问题：给定一个角，你能作出它的平分线吗？方法都有哪些？ 图1 导入一：小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点处，如图1所示，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连，怎样修建管道最短呢？新修的两条管道长度有什么关系呢？ 导入二：教师：如图2是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？ 图2 演示平分角仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法. 在△ABC和△ADC中， ∴ △ABC≌△ADC（SSS）. ∴ ∠CAB＝∠CAD， 即射线AC就是∠DAB的平分线. 教师：通过上述探究，能否总结出用尺规作已知角的平分线的一般方法？自己动手做做看，然后与同伴交流操作心得. （分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性） 讨论结果展示： 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（如图3） 图3 （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N. （2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. （教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣） 议一议： （1）在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？为什么？ （2）第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？该步骤中的限制条件是必需的吗？ （3）角的平分线是射线、线段还是直线？ （4）这种作角的平分线的方法可行吗？ 学生讨论结果总结： （1）不行，去掉“大于MN的长”这个条件，所画的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线. （2）若分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线.所以第二步中的两个限制条件缺一不可. （3）角的平分线是一条射线，它不是线段，也不是直线. （4）这种作法的可行性可以通过全等三角形证明. 活动二：角的平分线的性质. 操作测量： （1）让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P.（如图4） 图4 （2）在三个不同的位置取点P，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D，E为垂足. （3）测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系. （4）将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，归纳角的平分线的性质. PD PE 第一次 第二次 第三次 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 新知应用 例　证明命题：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上. 结论：这个点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图5，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 图5 求证：PD＝PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△POD和△POE中， ∴ △POD≌△POE（AAS）， ∴ PD＝PE. 总结：1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.用数学语言表述角的平分线的性质定理： 如图5，∵ OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的一点，PE⊥OB，PD⊥OA， ∴ PD＝PE （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）. 3.角的平分线的性质的作用： 主要用于判断和证明两条线段相等，运用此性质不需要先证两个三角形全等. 4.解后思考：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达