第十一章11.2.1三角形的内角 （配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（人教版）

11.2　与三角形有关的角 11.2.1　三角形的内角 教学目标 1.学会利用拼合的方法探究三角形的内角和，并证明. 2.掌握三角形内角和定理并利用它求角的问题. 3.掌握直角三角形的两个锐角互余，能利用有两个角互余的三角形是直角三角形，对三角形形状进行判定. 教学重点难点 重点：三角形内角和定理及推论. 难点：合理地应用三角形内角和定理及推论进行简单的推理证明和计算. 教学过程 导入新课 导入一：如图1所示，在一个直角三角形里住着三个内角，平时三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“不行啊！这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷. 图1 同学们，你们知道其中的道理吗？ 导入二：问题1：上节课我们已经明确了三角形的三边关系，那么三角形的三个内角又具有怎样的关系呢？ 问题2：如何证明三角形内角和等于180°呢？ 这就是我们这节课要研究的问题. 师生活动 学生自然会想到三角形的三个内角和等于180°，也有可能有些学生会产生疑问，三角形的三个内角除了和等于180°外，还有其他关系吗？比如像三边那样的不等关系？如果学生出现了这种情况，可以给出几个三角形的角度，让学生进行验证，通过验证让学生认识到三角形的三个内角只具备和等于180°这一特征，然后引导学生回忆小学是怎样得出这一结论的，学生可能会回答：测量、拼图、折纸.这时可以向学生说明这些都是实验的方法，实验只能对少数三角形，不能对所有的三角形验证，另外在实验操作和观察中总会存在误差，因此，要说明这一结论的正确性还需进行推理论证，由此引出问题3. 探究新知 问题3：在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为180°？ 师生活动 让学生每人画一个三角形，并把三个角裁下来，拼在一起，让他们自己得出结论. 生：三个角拼在一起，会得到一个平角，即三角形的内角和为180°. 师：为什么是180°呢？ 生：因为三个角合起来形成一个平角，而平角等于180°，所以三个角的和为180°. 师：大家得出的结论相同吗？你们画的三角形都一样吗？如果不一样，你能得出什么结论呢？ 生：我们互相交流一下，结论都是一样的，但所画的三角形并不完全一样，所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系，只要是三角形，其内角和就一定为180°. 师：大家回答得非常棒.但这只是实验，由观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，必须通过数学证明来验证，那么怎样证明呢？请同学们看图2（课件展示）. 　　 　　 ① 　　　　　　　② 　 图2 在图2①中，∠B和∠C分别拼在∠BAC的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线MN，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线MN上.想一想，直线MN与△ABC的边BC有什么关系？由这个图你能想出说明三角形内角和等于180°这个结论正确的方法吗？ 请大家思考后再互相交流. 生：因为移动后的∠C与未移动时的∠C相等，而它们又是内错角，由平行线的判定可知，直线MN与边BC平行，所以可以过△ABC的顶点A作直线MN平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义可知∠BAC+∠B+∠C＝180°. 师：大家能写出证明过程吗？ 这是一个文字命题，用数学符号推理证明时，应注意什么？ 生：需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证. 师：下面请一位同学完整地写出过程. 生：已知：△ABC（如图3），求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°. 图3 证明：如图3，过点A作直线DE∥BC， ∴ ∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C. ∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°， ∴ ∠B+∠BAC+∠C＝180°. 师：再观察图2②，辅助线的作法与图2①一样吗？证明方法相同吗？ 生：辅助线的作法不同.移动前的∠A和移动后的∠A相等，且是内错角的位置关系，可知直线CE与边AB平行，同时移动前和移动后的∠B是同位角也应相等，所以三个角拼在一起构成了平角，故∠A+∠B+∠ACB＝180°. 师：能写出证明过程吗？ 生：已知、求证和上面相同. 证明：如图4，延长BC到D，过点C作CE∥AB. 图4 ∴ ∠A＝∠ACE，∠B＝∠ECD. ∵ ∠ACE+∠ACB+∠ECD＝180°， ∴ ∠A+∠ACB+∠B＝180°. 师：利用两直线平行，同旁内角互补怎样证明？课下讨论.从上面的两种证明方法中，大家能否找到它们的异同点？它们的思路是否一致呢？ 生：相同点是：都是把三角形的三个内角拼到一起，根据平角的定义，证明三角形的内角和是180°；不同点是：辅助线的作法不同，前者是过点A作边BC的平行线，后者是过点C作边AB的平行线.但不管是过三角形的哪一个顶点