5.2.1 基本初等函数的导数（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2.1　基本初等函数的导数 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．几个常用函数的导数 0 1 2x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝________ f(x)＝sin x f ′(x)＝______ f(x)＝cos x f ′(x)＝_______ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝_______(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f ′(x)＝___ αxα－1 cos x －sin x axln a ex 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数．  (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． [方法技巧] 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 对点训练 拓展 1．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 2.已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. [方法技巧] 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 对点训练 2．(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________. 3．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [答案]　C [方法技巧] 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 对点训练 5．已知直线(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)图象的一条切线，求底数a的值． 强化拓广探索 答案：B　 5．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y＝f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；(2)在区间(a，b)上都有导数，则在区间(a，b)上至少存在一个数ξ，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)，其中ξ称为拉格朗日中值．则g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ＝________. “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十五） (单击进入电子文档) 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题． 重点 难点 重点:基本初等函数的导数公式及其运用. 难点:基本初等函数的导数公式的推导. 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝____ f(x)＝x f ′(x)＝____ f(x)＝x2 f ′(x)＝____ 函数 导数 f(x)＝x3 f ′(x)＝3x2 f(x)＝ f ′(x)＝______ f(x)＝ f ′(x)＝______ － 原函数 导函数 f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f ′(x)＝____ 1．若f(x)＝，则f ′(1)等于 (　 ) A．0 B．－ C．3 D. 答案：D　 解析：因为f(x)＝，则f ′(x)＝x ，所以f ′(1)＝. 2．已知f(x)＝cos 30°，则f ′(x)的值为 (　 ) A．－ B. C．－ D．0 答案：D　 解析：∵f(x)＝cos 30°＝，∴f ′(x)＝0. 3．已知函数f(x)＝x3，f ′(x)是f(x)的导函数，若f ′(x0)＝12，则x0＝ (　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．± 答案：C　 解析：依题意f ′(x)＝3x2，故3x＝12，解得x0＝±2. ————————————————————————— 用导数公式求函数的导数 ————————————————————————————— [典例1]　求下列函数的导数： (1)