5.1.2 导数的概念及其几何意义（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.1.2　导数的概念及其几何意义 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达式. 2.进一步体会极限思想,会利用导数的概念求函数在某点处的导数. 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 重点 难点 重点:导数的概念、几何意义及应用. 难点:对导数概念的理解. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)函数在某点处的导数 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx是自变量的变化量，它可以为正、为负，但不为零；Δy是相应函数值的变化量，它既可以为正，可以为负，也可以等于零． 确定的值 极限 可导 导数 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关． (　 ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关． (　 ) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率． (　 ) (4)函数f(x)＝0没有导函数． (　 ) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同． (　 ) (6)若f′(x0)＝0,则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在． (　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 (　 ) A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 答案：A　 (二)导数的几何意义 在点P0处 3．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 答案：B　 解析：由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处的斜率，由题图可知f′(xA)<f′(xB)． (三)导数 导数f′(x0)与导函数f′(x)之间的区别与联系 区别 (1)f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量； (2)f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a, b)内每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a, b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x) 联系 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，也就是求函数在x＝x0处的导数的方法之一 [方法技巧] 求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的三个步骤 对点训练 1．设函数y＝f(x)在x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则 (　 ) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 答案：C　 [方法技巧] 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限． (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数f′(x0)反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况． 对点训练 拓展 1．本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 2．本例若改为曲线在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标． [方法技巧] 求过点P(x0，y0)且与曲线相切的直线方程，首先检验点P是否在曲线上．若点P在曲线上，则切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)或x＝x0；若点P不在曲线上，则应根据曲线对应的函数关系式设出切点的坐标． 对点训练 4．已知曲线y＝2x2－7. (1)曲线上在哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)求曲线过点P(3, 9)的切线方程． “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十四） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 1．函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝_________________．我们把比值，即＝_______________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(瞬时变化率) 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个__________，即有______，则称y＝f(x)在x＝x0处______，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的______(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0