4．4 数学归纳法（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．4*　数学归纳法 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题．   重点难点 重点:理解数学归纳法的简单应用． 难点:对数学归纳法的理解. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当_______________时命题成立； (2)(归纳递推)以“当___________________时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． n＝n0(n0∈N*) n＝k(k∈N*，k≥n0) 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． (　 ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. (　 ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ [方法技巧] 用数学归纳法证明恒等式应注意的三点 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． 对点训练 [方法技巧] 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 对点训练 [方法技巧]　 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 关键点一 验证第1个n的取值时，要注意 n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1 关键点二 证明不等式的第二步中，从 n＝k到n＝k＋1 的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推” 关键点三 应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n＝k＋1 时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程 关键点四 证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小” 对点训练 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十二） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时，f(n)＝(　 ) A．1 B. C．1＋＋ D．以上答案均不正确 答案：C 3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________． 答案：f(2n)＞ ————————————————————————— 用数学归纳法证明等式 ————————————————————————————— [典例1]　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． [证明]　①当n＝1时，左边＝1－＝， 右边＝＝，左边＝右边． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即当n＝k＋1时，等式也成立． 综合①②可知，对一切n∈N*，等式成立． 1.用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左边＝12，右边＝×1×(4×12－1