4.1 第二课时 数列的递推公式及前n项和（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第二课时　数列的递推公式及前n项和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1. 理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项． 2.掌握累加法、累乘法求数列通项公式的技巧． 3.会由数列的前n项和公式求数列的通项公式． 重点 难点 重点：由递推公式、数列前n项和求数列通项公式． 难点：理解数列递推公式及数列前n项和. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 3 (一)数列的递推公式 如果一个数列的_________或_____之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 相邻两项 多项 (1)通项公式与递推公式的区别：①通项公式反映的是an与n的关系，递推公式反映的是项与项之间的关系；②若已知n的值，则由通项公式可直接求出an的值，而通过递推公式只能间接求出an的值． (2)利用递推公式求一个数列，必须具备：①数列第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一不可． 答案：A　 解析：a2＝a1－3＝－1－3＝－4，a3＝a2－3＝－4－3＝－7. 1．数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________. 2．数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和____与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． (二)数列的前n项和公式 a1＋a2＋…＋an Sn 序号n Sn－Sn－1，n≥2 1．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为 (　 ) A．1 B．3 C．5 D．6 答案：C　 解析：∵Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，∴S1＝0，S3＝8，∴a1＝0，a2＝3，a3＝5，a1＋a3＝5. 2．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________. 答案：－4n＋2 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋2. 显然n＝1时符合，故an＝－4n＋2. [方法技巧] 由递推公式写出数列的项的方法 由递推公式求数列某些项的值，只需根据题目给出的已知项的值，代入递推公式求得相邻项的值，以此类推，逐步求得所要求的项的值． 对点训练 拓展 [方法技巧] 对点训练 3．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明． 解：由a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23， a4＝2a3＝2·23＝24. 猜想an＝2n(n∈N*)．证明如下： [解析]　(1)设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1，故a5＝S5－S4＝(25－1)－(24－1)＝16. [方法技巧] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1 (n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． 对点训练 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1. 当n＝1时，2×31－1＝2＝a1， 故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 答案：2×3n－1 答案：B　 解析：由题意得，a3＝2＋a1＝2，a5＝2＋a3＝4，a7＝2＋a5＝6，a9＝2＋a7＝8， a4＝2a2＝2，a6＝2a4＝4，a8＝2a6＝8，a10＝2a8＝16， 所以前10项和为0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＋8＋16＝51.故选D. 答案：D　 强化拓广探索 5．已知数列{an}满足an＋1>an，且其前n项和Sn满足Sn＋1<Sn，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式an＝________. “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（二） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 1.下列数列中符合递推关系式an＝an－1的数列是 (　 ) A．1,2,3,4，… B．1，，2,2，… C.，2，，2，… D．0，，2,2，… 答案：B 2.在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝an－3，则a3等于 (　 ) A．－7 B．－4 C．－1 D．2 3．an与Sn的关系 an＝. (1)对于由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的an的表达式，若令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则