“4翼”检测评价（15）基本初等函数的导数（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十五） 基本初等函数的导数 (一)基础落实 1．(多选)下列结论正确的是(　 ) A．若y＝，则y′＝－ B．若y＝，则y′＝ C．若y＝，则y′＝－2x－3 D．若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析：选ACD　选项A，y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；选项B，y＝＝x，则y′＝x≠；选项C，y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴选项A、C、D正确． 2．函数f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　 ) A．f′(2)<f′(3) B．f′(2)>f′(3) C．f′(2)＝f′(3) D．不能确定 解析：选A　∵f(x)＝，∴f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，f′(3)＝－，即f′(2)<f′(3). 故选A. 3．若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　 ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex 解析：选C　对于A，f′(x)＝2x，为奇函数；对于B，f′(x)＝－sin x，为奇函数；对于C，f′(x)＝cos x，为偶函数；对于D，f′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数. 故选C. 4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　 ) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析：选A　由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)．∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1.∴切点为(1,1)．∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0. 5．已知O为坐标原点，曲线C：y＝log2x在点A(1,0)处的切线交y轴于点B，则S△OAB＝(　 ) A. B. C．ln 2 D. 解析：选A　因为y′＝，所以点A处的切线方程为y－0＝(x－1)．令x＝0，得y＝.所以B的坐标为，则S△AOB＝××1＝. 6．已知f(x)＝2x，则f ′＝________. 解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，所以f ′＝f ′(log2e)＝2log2e ln 2＝eln 2. 答案：eln 2 7．若曲线y＝xα(α∈Q*)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝________. 解析：y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过原点(0,0)，所以α＝2. 答案：2 8．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________. 解析：由f′(x)＝0，g′(x)＝，x>0,2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1. 答案：1 9．若曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)(a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求loga的值． 解：因为f′(x)＝－2x－3，所以曲线f(x)在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，令x＝0，得y＝3a－2.令y＝0，得x＝，所以×3a－2×a＝3，解得a＝.所以loga＝2. 10．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(3, 5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P的坐标为(x0, y0)， 由y＝x2，得y′＝2x， ∴y′|x＝x0＝2x0. 由已知kPA＝2x0， ∵A(3, 5)不在曲线y＝x2上， ∴x0≠3，得＝2x0. 又y0＝x，代入上式整理， 得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5， ∴切点坐标为(1, 1)或(5, 25)． ∴所求直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. (二)综合应用 11．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　 ) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 解析：选A　因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]， ∴l的倾斜角的斜率的范围为[－1,1]． 故倾斜角的范围为∪. 12．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． 解析：由已知得y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)． 又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)， ∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列， ∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 答案：21 13．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为___