专题17 圆与圆的位置关系6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题17 圆与圆的位置关系6种常见考法归类 1、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的位置关系 我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系： ①两圆相交，有两个公共点； ②两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； ③两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 注：如果两个圆没有公共点，那么它们外离或内含，这两种位置关系统称为相离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们外切或内切，这两种位置关系统称为相切． 2、圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 3、圆与圆的公共弦 （1）圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． （2）公共弦所在直线的方程 将两个相交圆的方程相减，消去x2项，y2项，所得二元一次方程即为两圆的公共弦所在直线的方程，即由x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1－(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0得公共弦所在直线方程为D1x＋E1y＋F1－(D2x＋E2y＋F2)＝0，简记为“两圆相减公共弦”． 注：若不能确定两圆是否相交，则两圆方程相减得到的方程不一定是两圆公共弦所在直线的方程． （3）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在的直线方程，在圆的半径、半弦、弦心距构成的直角三角形中，根据勾股定理求出半弦长，进而求出弦长． 4、两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线． 两圆的位置关系与公切线条数的关系 (1)两圆外离，有四条公切线． (2)两圆外切，有三条公切线． (3)两圆相交，有两条公切线． (4)两圆内切，有一条公切线． (5)两圆内含，没有公切线．如图． 注：两圆不同的位置关系对应着不同的公切线条数，因此可以由公切线的条数判断两圆的位置关系，即当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，对应的公切线条数分别为0,1,2,3,4，反之亦成立． 5、圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 6、判断两圆的位置关系 (1)几何法： ①将两圆的方程化为标准方程. ②求出两圆的圆心距d和半径r1，r2. ③根据d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系作出判断，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 7、两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 8、公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 9、两个圆的公切线数量 两个圆的公切线数量与其位置关系有关，在求其公切线方程前应先判断两个圆的位置关系；相应的，也可以根据两圆公切线的数量判断其位置关系. 10、两圆的公切线方程求解： (1)当公切线的斜率存在时，可设公切线的方程为y＝kx＋b，由公切线的意义(两圆公共的切线)可知，两圆心到直线y＝kx＋b的距离分别等于两圆的半径长，这样得到关于k和b的方程组，解这个方程组得到k，b的值，即可写出公切线的方程． (2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 判断圆和圆的位置关系 考点二 由圆和圆的位置关系求参