专题1.8 全等三角形几何模型（一线三垂直）（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.8 全等三角形几何模型（一线三垂直）（分层练习）（培优练） “一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。 “三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。 其基本图形如下： 拓展：当一线三垂直模型中三垂直改成三等角时，同样成立 一、单选题 1．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   ) A．50 B．44 C．38 D．32 2．如图，四边形ABCD是正方形，直线分别通过A，B，C三点，且，若与的距离为5，与的距离为7，则正方形ABCD的面积等于(   ) A．70 B．74 C．144 D．148 二、填空题 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为 ．    4．在中，，，点是射线上的一个动点，作，且，连接交射线于点，若，则 ． 三、解答题 5．如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连结交于点，若，，求证：点为中点． （3）当点在射线上，连结与直线交于点，若，，则______．（直接写出结果） 6．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 7．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1　 　S2（填“＞、＝、＜”） 参考答案 1．D 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可． 解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM， ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中 ， ∴△FEA≌△MAB（AAS）， ∴AM=EF=6，AF=BM=3， 同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14， ∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC = =32． 故选D． 【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 2．B