2.1.2 基本不等式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

课时目标 2.1.2　基本不等式 (强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 课堂环节 题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．定理 对任意a，b∈R，必有___________，当且仅当_____时等号成立． 2．推论 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 a2＋b2≥2ab a＝b a＝b 不小于 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　 ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 答案：B　 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立． 答案：C　 逐点清(二)　 存在量词与存在量词命题 课堂环节　 题点研究·迁移应用融会贯通 [答案]　B 答案：C　 [答案]　(1)B　(2)m>n [方法技巧] 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.　　 答案：B　 2．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是__________________________________________． 解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 答案：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac [方法技巧] 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加 条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件 有附加 条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到 [针对训练] 　已知x>0，y>0，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十二）” (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 1．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，掌握基本不等式的变形及应用． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式． 对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当______时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数，即两个正数的算术平均数________它们的几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． 微点助解 (1)基本不等式≥中，要求a，b都是正实数，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义． (2)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0，而重要不等式中的a，b是实数．事实上，当a≥0，b≥0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2，变形可得≥. (3)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数． [基点训练] 1．判断正误： (1)若a≥0，b≥0且a≠b，则a＋b>2.(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．(　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 ) 3．设a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A．a－b<0 B．0<<1 C.< D．ab>a＋b 解析：∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立． 4．(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是(　 ) A.≥ B．a－b≥2 C．a2＋b2≥2ab D．a2－b2≥2ab 答案：ABD　 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知A、B、D错误，只有C正确． 题型(一)　对基本不等式的理解 [典例]　给出下面3个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　 ) A．①② 　B．①③ 　C．②③ 　D．①②③ [解析]　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． [方法技巧] 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条