专题13 难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

专题13 难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】 1 【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】 5 【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】 11 【类型四 一元一次方程的应用--电费和水费问题】 18 【类型五 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 25 【典型例题】 【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】 例题：（2023秋·安徽淮北·七年级校考期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】设大和尚有人，则小和尚有人，根据“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．”再建立方程求解即可． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，根据题意，得 ． 解这个方程，得． 经检验，符合题意． ． 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2022·江西新余·统考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设共有客人人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗”列出方程即可． 【详解】解：设共有客人人， 根据题意，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 2．（2023秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题，“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买单的人有 个． 【答案】21 【分析】设买单的人有x个，根据每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设买单的人有x个，根据题意得： ， 解得：， 即买单的人有21个， 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． 3．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？ 【答案】天 【分析】首先设经过天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭天的路程＋大雁天的路程，再根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设经过天相遇， 根据题意，得∶ ， 解得：． 答：经过天相遇． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 4．（2023秋·七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？ 【答案】绳子长为36尺，井深8尺 【分析】设井深为x尺，则根据“将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺”即可列出方程求解. 【详解】设绳子长尺， 依题意得，解得， 所以． 答：绳子长为36尺，井深8尺． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在弄清题意，找到等量关系并列出方程． 5．（2023·安徽六安·统考模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 【答案】清酒2斗，醐酒有2斗． 【分析】设清酒x斗，则