第四章 基本平面图形 复习讲义2023-2024学年北师大版七年级数学上册

第四章《基本平面图形》复习讲义北师大版七年级数学上册

常考专题整合

常考专题一      确定几何图形的个数

    数几何图形的数量是指数线段、直线或射线的条数或数角的个数，这方面的规律探索问题在中考中较为常见，在实际生活中也有着广泛的应用，如车票的种类问题等。

1. 数经过平面上的任意两个点画直线的条数

例1．经过平面上的4个点中的任意两个点画直线，可以画几条？最多可以画几条？经过平面上的n个点中的任意两点画直线，最多可以画多少条直线？

分析： （1）由直线公理，两点确定一条直线，但题中没有明确指出已知点中，是否有3个点，（或者4个点）在同一直线上，因此要分三种情况加以讨论；

（2）经过平面上的n个点中的任意两点画直线，当经过任何两点的直线都不重合时最多，据此即可求解．

解：（1）①如果4个点，点A、B、C、D在同一直线上，那么只能确定一条直线，如图：

　           

②如果4个点中有3个点（不妨设点A、B、C）在同一直线上，而第4个点，点D不在此直线上，那么可以确定4条直线，如图：

③如果4个点中，任何3个点都不在同一直线上，那么点A分别和点B、C、D确定3条直线，点B分别与点C、D确定2条直线，最后点C、D确定一条直线，这样共确定6条直线，如图：

综上所述，过其中2个点可以画1条、4条或6条直线，最多可以画6条；

（2）经过任何两点的直线都不重合时最多，经过每个点的直线一定有n﹣1条，因此n个点共n（n﹣1）条，但每两个点之间的连线重复，因此要把总条数乘以，即总条数是n（n﹣1）条．所以经过平面上的n个点中的任意两点画直线，最多可以画条n（n﹣1）条直线．

思维点拨： 本题考查了直线、射线、线段，作出图形利用数形结合的思想数直线条数来求解更容易理解．

2. 数直线分平面的块数

例2.阅读下面文字，完成题目中的问题：

阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是1部分；②当平面上画出一条直线时，就把平面分成2部分；③当平面上有两条直线时，最多把平面分成4部分；④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分成7部分；…完成下面问题：

（1）根据上述事实填写下列表格

平面上直线的条数n	0	1	2	3	…
平面最多被分成几部分y					…

（2）观察上表中平面被分成的部分，他们的差是否有规律？如果有请你说出来．

（3）平面被分成的部分也有规律，请你根据（2）中的结论说出“平面被分成几部分“的规律．

（4）一块蛋糕要分给10位小朋友，你至少要切几刀？

分析：（1）原来平面是1部分，则画1条直线最多把平面分成1+1=2个部分，画2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分，画三条直线最多把平面分成了1+1+2+3=7部分，依此类推，平面上有n条直线时，最多把平面分成的部分是1+1+2+3+…+n=1=+1．

（2）不难发现它们的差是对应的后边直线的条数；

（3）根据（1）中的分析解答；

（4）根据上述规律进行分析计算．

解：（1）1，2，4，7；

（2）有规律，个数上差依次为1，2，3；

（3）当有n条直线时，平面被分成（1+1+2+3+…+n）部分，即（+1）部分；

（4）根据题意，即是把平面分成10部分，则需要4刀．

思维点拨：此题能够从特殊推广到一般发现规律．注意1+2+3+…+n=．

3. 数线段的条数

例3. 若点C、D、E、F是线段AB上的四个点.则这个图形中共有多少条线段？

分析　已知线段上除了端点外，还有4个点，即这条线段共有6个点，这样要求这个图形中共有多少条线段，则由代数式即求.

解　因为依题意已知线段上共有6个点，所以这个图形中共有线段的为：＝＝15.

思维点拨：在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式的具体运用上来.

常考专题二    基本几何图形中的计算

线段是几何图形中的基本图形，与线段有关的长度计算是中考命题的重点，常利用线段的中点及线段的和、差、倍、分解决问题。与角有关的计算常以角平分线为条件，通过其他性质得到角相等，从而使问题得到顺利解决。在本章中，与圆有关的计算主要是计算圆心角的度数和扇形面积。

1.与线段有关的计算

例4. 同一条直线上有A、B、C、D四点，已知：，且CD=4cm，求AB的长．

分析： 本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C、D四点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．

解：依题意，有以下4种情况：

情况1：如图

∵，∴设DB=18x，则AD=10x，CB=35x，

∵CD=DB+BC=4cm，∴18x+35x=53x=4，∴x=，

∴．

情况2：如图

∵，∴设DB=18x，则AD=10x，AB=8x，CB=10x，

∵CD=DB+BC=4cm，∴18x+10x=28x=4，∴，∴．

情况3：如图

A﹣D﹣C﹣B 即AD+DB=AB=AC+CB，

AB=AD+DB=DB+DB，所以DB=AB，AD=AB

AB=AC+CB=CB+CB，所以CB=AB，AC=AB

所以CD=AC﹣AD=AB=4，AB=3.5CD=14（cm）；

情况4：如图

D﹣A﹣C﹣B 即BD﹣AD=AB=AC+BC，

AB=BD﹣AD=BD﹣BD，所以BD=AB，AD=AB

AB=AC+CB=CB+CB，所以CB=AB，AC=AB

所以CD=AD+AC=AB+AB=AB，AB=．

综上所述，或或14cm．

思维点拨： 本题考查了线段长短的计算，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．

2. 与角有关的计算

 

例5.将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．

分析： 先根据角平分线的定义得出∠MOC=∠MOB，再由OM⊥ON可知∠MOD=∠MON=90°，故可得出∠COD=∠BON，根据∠AOD=∠BON可知∠COD=∠AOD，故可得出结论．

解：直线ON平分∠AOC．

理由：设ON的反向延长线为OD，

∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，∴∠MOD=∠MON=90°，∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC．

思维点拨： 本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．

3. 与圆有关的计算

  

例6.一个圆被分成三个扇形，其中两个扇形的圆心角分别是90°和120°，则第三个扇形占整个圆面积的　  ．