2.5直线与圆、圆与圆的位置关系小结（2） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与圆的方程小结复习 1.明确本章知识结构 2.掌握每个知识点的典型类型的通性通法 3.归纳总结每类问题的方法及易错点 （1）重点知识再现 （2）基本方法重温 （3）基本技能过手 第2章 直线与圆的方程 例1：已知圆O：x2＋y2＝1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x＋4y－a＝0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若|PA|＝2|PT|，则实数a的最大值为________． 解析：由题意知A(－1,0)，设P(x，y)，由|PA|＝2|PT|可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)， 化简得 .由3x＋4y－a＝0与圆 有公共点P，所以圆心 基本技能过手 例2：已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1， )，则四边形ABCD面积的最大值为 基本技能过手 研通难点 解析：如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q， 则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3， ∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20. 又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|， 基 本 技 能 过 手 基本方法重温 解析：　过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点， 巩固领悟：在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是 基本方法重温 基 本 技 能 过 手 基本方法重温 基 本 技 能 过 手 例2.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25， 直线l: (2m+1)x +(m+1)y = 7m +4 (m∈R). （1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （2）求直线 l 被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程. 解： 分析：（1）若对于任意的实数m，直线l与圆C恒相交，则直线l必过圆内(上)一定点，因此应从直线l过定点的角度去考虑问题； . . 基本方法重温 . . C A B D 分析：（2）根据平面几何定理，过圆内一点最短的弦，应是过这点的与弦心距垂直的弦。 （2）求直线 l 被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程. 解 基本方法重温 . . C A B D （2）求直线 l 被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程. 解2 则 得 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 最短时的直线方程. 由 基本方法重温 若直线l:y=kx+b与圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2 交于A(x1, y1), B(x2, y2)， 弦长公式： 则 y=kx+b (x－a)2 + (y－b)2=r2 拓展探索 由 得 则由题意有 即 即 例3. 拓展探索 o y x . C A B 解2： 由（1）有 即 即 由（2）有 由（3）有 即 ① ② 解方程组①②得： 【变式】已知圆C经过(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点. (1)求圆C的方程; 素养强化练 , 课后作业 1. P103复习参考题2第12-20题 与圆有关的最值问题：重在考查数形结合与转化思想. 常见的命题角度有： 一、模型联想 1斜率μ＝eq \f(y－b, x－a)型最值问题； 2截距μ＝ax＋by型最值问题； 3距离μ＝x－a2＋y－b2型最值问题. 化为三角函数最值（教材P98T12） 基本不等式 小结领悟：与圆有关的最值问题 解:(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 依题意,得 QUOTE 解得 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1. (2)①请问 · 是否为定值.若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; ②若O为坐标原点,且 · =12,求直线l的方程. 解:(2)① · 为定值. 证明:过点A(0,1)作直线AT与圆C相切,切点为T,则AT2=7, 所以 · =| |·| |cos 0°= =7, 所以 · 为定值,且定值为7. ②依题意可知,直线l的方程为y=kx+1, 设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1并整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0, 所以x1+x2=,x1·x2= QUOTE , 所以 QUOTE +8=12, QUOTE =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= · 即 =4, 解得k=1,又当k=1时Δ>0,所以k=1,所以直线l的方程为y=x+1. $$