专题10 复数及其应用（思维导图+知识梳理+方法技巧+易混易错）-【口袋书】2024年高考数学一轮复习知识清单（新高考专用）

专题10 复数及其应用 一、知识速览 二、考点速览 知识点1 复数的基本概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模， 记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 知识点2 复数的几何意义 1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； 2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数； 3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量 知识点3 复数的四则运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4） 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 知识点4 复数的三角形式 1、复数的辅角 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 2、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 3、复数的代数式与三角式互化 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 （1）复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。 （2）复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。 （3）复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时， 5、复数除法运算的三角表示及其几何意义 （1）复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. （2）两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。 一、复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 【典例1】（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）若复数（为虚数单位，且）为实数，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ） A． B．4 C．2 D． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知复数是虚数，则实数m的取值范围是（ ） A．R B． C． D． 二、求复数标准代数式形式的两种方法 1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式； 2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程