2.5.1 直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 2 章直线和圆的方程 2.5.1直线与圆的位置关系 学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点) 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采. 这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离. 位置关系 图形 d与r的关系 交点个数 相离 相交 相切 d>r d<r d=r 0个 2个 1个 实例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0 和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线 l与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长． 【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解； 解法一：由直线 l 与圆的方程，得： 消去y，得 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 同时可求得直线 l 与圆的两个交点是： 实例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0 和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线 l与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长． 【变通】遇交点坐标计算困难时，可考虑交点坐标“设而不求”； 解：由直线 l 与圆的方程，得： 消去y，得 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．并设为 则由韦达定理得 故 整体代入可得 判断直线与圆位置关系的方法： (1) 代数法： 消去y(或x), 得到关于x(或y)的一元二次方程. 列出判别式△，（如有需要还可列出根与系数的关系） 设直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0： 若相交, 可以解得两交点坐标或韦达定理利用两点间的距离公式求得弦长. 联立： 判定： 列式： 消元： 思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系． 实例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0 和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线 l与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长． 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 设直线l: Ax+By+C=0, 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2. 圆心C到直线l的距离为d，通过比较d与r的大小, 判断直线与圆的位置关系.则有： 判断直线与圆位置关系的方法： (2) 几何法： x y O A B d C 若直线l与圆C相交, 则弦长公式为 r 7 相交 相切 相离 练一练 即kx-y+1-2k=0 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得 联立： 消元： 列式： (1)求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． ②如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率时要先判定斜率是否存在，否则可能会漏解.利用“d=r”或“=0”求解。　 [跟踪训练](1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________． (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) x＋2y－3＝0 答案：C 例3 (1)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 解：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝3.①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0. 解法1： 因此所证命题成立 代 数 方 法 解法3：mx-y+1-m=0过定点（1，1）而（1，1）在圆内，所以直线与圆相交. 解法2:(1)由已知，圆心为（0，1），半径为 r = ，则圆心到直线 l 的距离为 因此所证命题成立 <1<r恒成立， 几 何 方 法 (2)由垂径定理可知 变式：求直线l被圆C截得的弦长最小时,直线l的方程. 提示：从几何的角度思考，经过圆内一定点的弦中，当该定点为弦的中点时，弦长最小. 答案：x=1 直线与圆相交时弦长的两种求法： (2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)几何法：如图示，直线l与圆C交于A，B两点， 设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有： 其中