3.2.1 函数的单调性（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

函数的单调性 1 函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. Eg：在上单调递减，但它不是减函数， 特别注意它的减区间是，不是. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. 比如：递增，则. ② 若递增，，则. 比如：递增则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.   【题型一】对函数单调性的理解 【典题1】 函数在是增函数，若，则有 ( ) 【典题2】已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于 . 巩固练习 1(★) 若函数的定义域为且满足，则函数在上为(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定 2(★★) 设，函数在区间是增函数，则(　　) ． ． 3(★★) 已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是 . 【题型二】 判断函数单调性的方法 方法1 定义法 【典题1】判断在的单调性. 方法2 数形结合 【典题2】函数的单调增区间是 (　　) 方法3 复合函数的单调性 【典题3】函数的单调减区间为 . 巩固练习 1(★) 下列四个函数在是增函数的为(　　) 2(★★) 设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　) ．在上为减函数 ．在上为增函数 ．在上为增函数 ．在上为减函数 3(★★) 函数的单调增区间是(　　) 4(★★) 已知函数的单调递增区间 5(★) 函数的单调递减区间为 　． 6(★★) 函数的单调递增区间为　 　． 7(★★★) 已知函数在定义域上单调递增 (1)求的取值范围； (2)若方程存在整数解，求满足条件的个数. 8(★★★) 函数在区间上都有意义，且在此区间上 ①为增函数，；②为减函数，． 判断在的单调性，并给出证明． 【题型三】函数单调性的应用 角度1 解不等式 【典题1】已知函数，若，则实数的取值范围是 . 角度2 求参数取值范围或值 【典题2】若()，在定义域上是单调函数，则的取值范围 . 角度3 求函数最值 【典题3】已知函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 巩固练习 1(★) 函数在区间上的最大值、最小值分别是(　　) A． B． C． D．最小值是，无最大值 2(★★) 已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是(　　) 有最大值，无最小值 有最大值，最小值 有最大值，无最小值 有最大值2，最小值 3(★★) 若是上的单调减函数，则实数的取值范围为　 　． 4(★★) 若函数在上的最小值为．则　 　． 5(★★) 已知函数，若，则实数的取值范围是　 　． 6(★★★) 已知函数的定义域为(为实数)． 当时，求函数的值域； 求函数在区间上的最大值及最小值，并求出当函数取得最值时的值． 【题型四】 抽象函数的单调性 定义在上的函数满足对所有的正数都成立， 且当，． 求的值 判断并证明函数在上的单调性 若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 巩固练习 1 (★★★) 定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ 求和的值； 试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 求满足的的取值集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的单调性