专题02 空间向量的应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02空间向量的应用 一、空间点、直线、平面的向量表示 1直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． 2.空间直线的向量表示： 3.空间平面ABC的向量表示 4.平面的法向量及其确定 （1）直线l⊥α,取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 二、空间中直线、平面的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. 三、空间中直线、平面的垂直关系 1. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 四、异面直线所成的角 1.两条异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角． ②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是． ③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有. 五、直线与平面所成角 直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 六、二面角 1．求二面角的大小 (1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 七、利用向量求空间距离 1.向量模、距离公式 （1）设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝， （2）设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则. 2. 点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 题型一 空间点、直线、平面的向量表示 【典例1】（2022秋·浙江绍兴·高二校考期中）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则直线与平面的位置关系是（    ） A．或 B． C．与相交但不垂直 D． 【典例2】【多选题】（2023·全国·高二专题练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使∥的是（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标． 题型二：平面的法向量的确定 【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥中，，其中，求平面的一个法向量． 【典例4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．    (1)证明：； (2)求平面的法向量． 【总结提升】 1.写出平面内两向量的坐标； 2.设出法向量； 3.根据数量积为零列出方程组； 4.解方程组，求出一个法向量 题型三 空间平行关系的证明 【典例5】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； 【典例6】（2022秋·湖南株洲·高二校考期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【总结提升】 利用向量证明平行问题 ①线线平行：方向向量平行． ②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直． ③面面平行：两平面的法向量平行． 题型四 空间垂直关系的证明 【典例7】【多选题】（2023秋·重庆石柱·高二校考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D