3.1用树状图或表格求概率讲义2023-2024学年北师大版九年级数学上册

      3.1用树状图或表格求概率讲义北师大版九年级数学上册

基础知识详解

知识点一   树状图法求概率

内容 叙述	概念	举例
	树状图是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。	例如： 用如图的树状图表示从2,3,4这三个数字中任取两个数字组成一个两位数的几种可能性。
知识详解	当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表法就不飞方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法，用画树状图求概率形象、直观，一目了然。 画树状图列举所以等可能结果求概率的步骤： （1）将第一步可能产生的个结果不分先后地写在第一行。 （2）从第一步的个结果处分别画出个分支，在每个分支上分别写上第二步可能产生的个结果。（若有更多步骤可继续） （3）按竖向写出各种等可能的结果，得到等可能结果的数量，再找出符合要求的结果的数量，按概率计算公式就可以得出所求的概率。
特别提醒	（1）当试验包含两步时，列表法比较方便，当然此时也可用画树状图法，当试验在三步或三步以上时用画树状图法方便，此时，不宜列表。 （2）画树状图时，每个“分支”的意义不同，但它们发生的可能性相同，因此不能忽略任何一种情况。 （3）用树状图计算概率时，必须保证两步之间的相互独立性，两步试验结果的可能性相同且结果是有限个，否则会导致结果错误。

出题角度1   两步操作的事件的概率

例1.如图1，在一个不透明的袋中装有四个球，分别标有字母A、B、C、D，这些球除了所标字母外都相同，另外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的4张正方形卡片，每张卡片上面的字母相同，分别标有A、B、C、D．最初，摆成图2的样子，A、D是黑色，B、C是白色．

操作：①从袋中任意取一个球；②将与取出球所标字母相同的卡片翻过来；③将取出的球放回袋中

再次操作后，观察卡片的颜色．

（如：第一次取出球A，第二次取出球B，此时卡片的颜色变）

（1）求四张卡片变成相同颜色的概率；

（2）求四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的概率．

分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与四张卡片变成相同颜色的情况，再利用概率公式即可求得答案；

（2）由（1）中的树状图可求得四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解：（1）画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，四张卡片变成相同颜色的有4种情况，

∴四张卡片变成相同颜色的概率为：=；

（2）∵四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的有8种情况，

∴四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的概率为：=．

思维点拨： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

针对训练1.九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．

奖项	一等奖	二等奖	三等奖
|x|	|x|=4	|x|=3	1≤|x|＜3

（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；

(2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？

 

出题角度2    两步以上操作的事件的概率

例2.甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．

（1）下列事件是必然事件的是（    ）．

A．乙抽到一件礼物

B．乙恰好抽到自己带来的礼物

C．乙没有抽到自己带来的礼物

    D．只有乙抽到自己带来的礼物

  （2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．

分析：（1）是选择题，根据必然事件的定义可知选A；（2）三个人抽取三件礼物，恰好每人一件，所有可能结果如上图所示为6种，其中只有第4、5种结果符合，∴P(A)== ；也可以用直接列举法：甲从三个礼物中抽到的礼物恰好不是自己的只有两种，要么是乙的要么是丙的，若甲抽到乙的，乙必须抽到丙的才符合题意；若甲抽到的是丙的，乙必须抽到甲的才符合题意，∴P(A) = ．

解：（1）A

（2）依题意可画树状图（下列两种方式均可）：

（直接列举出6种可能结果也可）

符合题意的只有两种情况：

①乙丙甲②丙甲乙（按左图）

或①（甲乙），（乙丙），（丙甲）；②（甲丙），（乙甲），（丙乙）（按右图）

∴P(A)== ．

思维点拨：本题考查了对“随机事件”、“必然事件”两个概念的理解，画树形图或表格列举所有等可能结果的方法．首先判断该事件是否等可能性，然后寻找所有等可能的结果，再看我们所关注的事件试验一次所发生的结果数，最后利用古典概率计算公式进行计算即可．

针对训练2.小明准备今年暑假到北京参加夏令营活动，但只需要一名家长陪同前往，爸爸，妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同，每次掷一枚硬币，连掷三次．

(1)用树状图形列举三次抛掷硬币的所有结果；

(2)若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同前往北京； 有两次或两次以上反面向上，由妈妈陪同前往北京；分别求由爸爸陪同小明前往北京和由妈妈陪同小明前往北京的概率；

(3)若将“每次掷一枚硬币，连掷三次， 有两次或两次以上正面向上时，由爸爸陪同前往北京”改为“同时掷三枚硬币，掷一次， 有两次或两次以上正面向上时，由爸爸陪同前往北京”，求：在这种规定下，由由爸爸陪同小明前往北京的概率．

知识点二  列表法求概率

内容 叙述	列表法是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式以及某一事件方式的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
知识详解	在讨论某事件发生的概率时，如果出现的结果数有限，且可能性均等，对含两次操作或两个条件的事件，先选其中的一次操作或一个条件作为横行，另一次操作或另一个条件作为竖列，列出表格，再看我们关注的事件出现的次数占总数比例。
特别提醒	（1）列表法的适用范围是：① 某次试验仅涉及两个因素；②可能出现的结果数目较多。 （2）用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多的概率问题，能够不重不漏地列出所有可能结果，其计算方法是： 第一步 第二步 … （,） （,） （,） … （，） （,） （,） （,） … （,） （，） （，） （,） … （，） … … … … … … （，） （，） （, ） … （，）