21.3实际问题与一元二次方程讲义2023-2024学年人教版九年级数学上册

知识点七、一元二次方程与实际问题

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；

（2）设：指设元，即设未知数，设元分直接设元和间接设元，直接设元就是问什么设什么，间接设元是间接地设一个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量；

（3）列：指列一元二次方程，这是非常重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；

（4）解：指解方程，即求出所列方程的解；

（5）验：指检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意，应注意的是，一元二次方程的解有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%，等等。

（6）答：写出答案。

 

（一）增长率问题

变化之前数量为，

变化一次之后数量为+

变化两次之后数量为

变化三次之后数量为

……

变化n次之后数量为

以上为增长率时情况，降低率时把加号换成减号即可。

（1）已知变化之前数量为a,变化之后数量为b,变化了两次，每次的变化率均为x，

    

（2）已知变化之前数量为a,这几次的总数量为b,变化了两次，每次的变化率均为x，

 

【例题1】某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为　         　。

 

【例题2】目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系。某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元。设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（    ）

     A.438(1+x)=389       B.389(1+x)=438

     C.389(1+2x)=438       D.438(1+2x)=389

 

（二）数字问题

（1）几个数之间的关系：

①3个连续的整数可以设为：

    ②3个连续的（奇）偶数可以设为：

    ③4个连续的整数可以设为：

    ④两数之和为8可设为：

    ⑤两数之差为8可设为：（或者是）

（2）两位数：个位数字与十位数字

两位数的大小十位上的数字+个位上的数字

【例题1】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程：

　            　。

【例题2】按照要求，解答。

（1）有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

 

（2）已知直角三角形三边长为三个连续整数，求这三个数。

 

（3）已知两个数的差是8，积是209，求这两个数。

 

（三）循环问题

循环问题的常见4中类型：

1、单循环问题：单循环比赛、握手等。

   当个体为个，总数为n时：单循环公式

2、复循环问题：复循环比赛（主客场）、贺卡、短信等。

   当个体为个，总数为n时：复循环公式

3、病毒传染问题：当每次传染个，则两轮下来感染人数的是。

4、小树生枝问题：当每次长出个，则两轮下来枝条总数的是。

注意：

①单循环与复循环的区别在于两者之间发生几次，1次是单循环，2次是复循环。

②病毒传染与小树生枝问题的区别在于，第二个回合的时候第一个是否再次参与，参与是传染，不参与是小树生枝。

【例题1】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为_____________。

【例题2】初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，设有x个人参加毕业晚会，则可列方程为　        　。

【例题3】有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有484人患了红眼病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为　          　。

【例题4】某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分枝的总数是91．设每个支干长出x个小分枝，则可得方程为　         　。

（四）销售问题

（1）总利润=单件利润销售量

（2）总利润=（单件售价-单件成本）销售量

注意：当题目提示“为了尽快减少库存/为了让利给顾客”，利润一定时，降价越多越好。

【例题1】某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件；现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件。

（1）现在要使利润为6125元，

若设每件商品应降价x元，则可列方程为__________

若设每件商品应卖x元，则可列方程为_____________

（2）请问每星期的利润能否达到7000元？若能，请求出每件商品应降价多少元；若不能，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

【例题2】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件。现在要使日盈利为2100元，设每件商品应降价x元，则可列方程为_________________

 

 

 

 

【例题3】将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个。如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。商店为了赚取8000元的利润,这种商品的售价应定为多少？应进货多少？