第二讲 与三角形有关的角讲义（基础）2023-2024学年人教版八年级数学上册
第二讲 与三角形有关的角（基础）
教学目标：
1、掌握三角形的内角与外角的概念；
2、掌握三角形的内角与外角的性质；
3、能根据三角形的内角与外角性质解决一些实际问题．
一、重点知识回顾：
1、三角形的内角：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
如图∠ACD是△的外角.三角形有六个外角，其中同一顶点处的两个外角是对顶角．
1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
几何语言：如图，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
★★★三角形内角和定理的应用：
（1）已知三角形的两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角；
（2）已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角；
（3）三角形的内角和角平分线综合。
4．
直角三角形的性质与判定：
（1）直角三角形：有一个角等于90°的三角形，叫做直角三角形.
如图，△ABC叫做直角三角形ABC ,用符号表示为Rt△ABC;
（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，已知∠A+∠B=90°,则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°.
所以△ABC是 直角三角形.
结论：有两个角互余的三角形是直角三角形.
（3）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
如图，在△ABC中，已知∠C=90°.
∠A+∠B+∠C= 180°，∠A+∠B=180°-∠C= 90°.
结论：直角三角形的两个锐角互余.
5、三角形外角的性质
性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
几何语言：如图，在△ABC中，∠ACD=∠A+∠B．
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
几何语言：如图，在△ABC中，∠ACD>∠A，∠ACD>∠B．
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6、三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于360°．
几何语言：如图，在△ABC中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个外角，
则∠1+∠2+∠3=360°．
三、举例与课堂训练：
【三角形内角和定理的证明】
如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
〖证法1〗证明：过A点作DE∥BC，
∵DE∥BC，（已作）
∴∠DAB= ，∠EAC= ，（两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，( )
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，(等量代换)
〖证法2〗证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA，
∴∠B= （两直线平行，同位角相等），
∠A= （两直线平行，内错角相等），
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，( )
∴∠A+∠B+∠ACB=180°．(等量代换)
【例1】若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（ ）
A．80° B．75° C．90° D．108°
【例2】如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，
∠AED=45°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，
CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
课堂训练1：在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
课堂训练2：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
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课堂训练3：如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，
AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A
测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视
角∠ACB是多少度？
课堂训练4：如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，
则桥面断裂处夹角∠BCD为________度．
【例5】（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
图 图
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