专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单） 目录 一、思维导图 2 二、知识回顾 2 考点清单01 利用空间向量研究距离问题 4 【考试题型1】点到直线的距离 4 【考试题型2】异面直线的问题 7 【考试题型3】点到平面的距离或直线到平面的距离 11 【考试题型4】平面到平面的距离 16 考点清单02 利用空间向量研究空间角的问题 19 【考试题型1】异面直线所成角的问题 19 【考试题型2】求线面角的问题 21 【考试题型3】求平面与平面的夹角问题 25 一、思维导图 二、知识回顾 知识点01：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点02：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 01 利用空间向量研究距离问题 【考试题型1】点到直线的距离 【解题方法】用向量法求点到直线的距离的一般步骤：（1）建立空间直角坐标系（2）求直线的单位方向向量（3）求所求点与直线上某一点所构成的向量（4）代入点线距离公式求距离。 【典例1】（2022秋·河北沧州·高二统考期末）空间中有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2022秋·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知直线l经过点，且是l的方向向量，则点到l的距离为（    ）． A． B． C． D． 【专训1-1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）    A．1 B． C． D． 【专训1-2】（2022秋·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（    ） A．平面PAC B．平面EFC C．点F到直线CD的距离为 D．点A到平面EFC的距离为 【考试题型2】异面直线的问题 【典例1】（2023春·广西·高二校联考期中）如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．到面的距离为 C．异面直线与的距离为 D．异面直线与的夹角为 【典例2】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF. (1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：. (2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离. 【考试题型3】点到平面的距离或直线到平面的距离 【解题方法】（1）建系：建立恰当的空间直角坐标系（2）求点坐标：写出相关点的坐标（3）求向量：求出相关向量的坐标（4）利用公式求距离 【典例1】（2022秋·河北邯郸·高二校考期末）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【典例2】（2023·河北邢台·校联考模拟预测）在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面相交 D．点到平面的距离为 【专训1-1】（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知空间中四个点，则下列结论正确的是（    ） A．∙=0 B．与夹角为 C．平面PDM的一个法向量为 D．点到平面的距离为 【专训1-2】（2022秋·海南省直辖县级单位·高二校考期中）如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 【考试题型4】平