第三章 导数及其应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（旧教材，人教A版）

压轴专攻(一)　恒成立问题与有解问题 1.(2023·吉林长春模拟)设函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x(a∈R). (1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)≥1恒成立,求a的取值范围. 解:(1)f′(x)=2x-(a+2)+=(x>0),又f′(3)=4-=0,所以a=6,经检验符合条件, 所以f′(x)=,令f′(x)>0,有0<x<1或x>3;令f′(x)<0,有1<x<3, 所以f(x)的单调递增区间是(0,1),(3,+∞),单调递减区间是(1,3). (2)由题意f(x)≥1⇔f(x)min≥1,当a≤0时,令f′(x)>0,有x>1;令 f′(x)<0,有0<x<1. 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)min=f(1)=-a-1,所以-a-1≥1,即a≤-2. 当a>0时, ①当0<<1,即0<a<2时,存在f(1)=-a-1<0; ②当>1,即a>2时,存在f(1)=-a-1<0; ③当=1,即a=2时,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 存在f(1)=-3<0,可知a>0时,f(x)≥1不恒成立. 综上,a的取值范围为(-∞,-2]. 2.(2022·云南曲靖二模)已知函数f(x)=x(mex-1). (1)当m=1时,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程; (2)当x>0时,f(x)≥x2-2x,求实数m的取值范围. 解:(1)当m=1时,f(x)=x(ex-1),则f(1)=e-1,由f′(x)=ex-1+xex,可得f′(1)=2e-1. 所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(2e-1)(x-1),即(2e-1)x-y-e=0. (2)由x(mex-1)≥x2-2x及x>0,得m≥.令g(x)=(x>0), 则g′(x)=, 当x∈(0,2)时,g′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 所以x=2是g(x)的极大值点,也是g(x)的最大值点,即g(x)max=g(2)=,所以m≥, 故实数m的取值范围为[,+∞). 3.(2023·广西柳州模拟预测)已知函数f(x)=x3+x2+ax. (1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a的最小值; (2)若函数g(x)=,对∀x1∈[,2],∃x2∈[,2],使f′(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围. 解:(1)由题设知f′(x)=x2+2x+a≥0在[1,+∞)上恒成立, 即a≥-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立, 而函数y=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,则ymax=y|x=1=-3, 所以a≥-3,所以a的最小值为-3. (2)“对∀x1∈[,2],∃x2∈[,2],使f′(x1)≤g(x2)成立”等价于 “当x∈[,2]时,f′(x)max≤g(x)max”. 因为f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在[,2]上单调递增, 所以f′(x)max=f′(2)=8+a. 而g′(x)=,由g′(x)>0,得x<1,由g′(x)<0,得x>1,又x∈[,2], 所以g(x)在[,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减. 所以g(x)max=g(1)=.由8+a≤,得a≤-8,所以实数a的取值范围为(-∞,-8]. 4.(2023·云南昆明联考)已知函数f(x)=eax-x. (1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为1,求f(x)的单调区间; (2)若不等式f(x)≥eaxln x-ax2对x∈(0,e]恒成立,求a的取值范围. 解:(1)f′(x)=aeax-1,则f′(0)=a-1=1,即a=2. 所以f′(x)=2e2x-1,令f′(x)=0,得x=-.当x<-时,f′(x)<0;当x>-时,f′(x)>0. 故f(x)的单调递减区间为(-∞,-),单调递增区间为(-,+∞). (2)由f(x)≥eaxln x-ax2,x∈(0,e], 即ax2-x≥eax(ln x-1),有≥,故仅需≥即可. 设函数g(x)=,x∈(0,e],则≥等价于g(eax)≥g(x). 因为g′(x)=,所以当x∈(0,e]时,g′(x)>0,则g(x)在(0,e]上单调递增, 所以当x∈(0,e]时,g(eax)≥g(x)等价于eax≥x,即a≥恒成立. 设函数h(x)=,x∈(0,e],则h′(x)=≥0,即h(x)在(0,e]上单调递增, 所以h(x)max=h(e)=,则a≥即可, 所以a的取值范围为[,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专攻(三)　函数零