18.2.1.2矩形的判定 教案2023-2024学年人教版数学八年级下学期

18.2.1矩形的判定

一、教学内容分析

矩形在生活中广泛存在，并且学生已经对矩形初步认识及其判定平行四边形可以从边，角，对角线等方面探究学习矩形的判定.矩形的判定可以在平行四边形判定的基础之上，再附加一定的条件，得出矩形判定的方法.

二、教学目标

1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.

2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

三、教学重难点

【重点】经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.

【难点】能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

四、教学方法

问题启发法、观察归纳法、探究法.

五、教学过程

（一）图片导入

 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？

这节课我们一起探讨矩形的判定吧.

意图：创设工人检测窗户框是否为矩形的问题情境，引起学生兴趣，引发学生思考，从而导入本节课矩形的判定课题.

效果：学生通过生活中的实例体会到了数学几何问题的趣味和价值.

（二）新课讲授

1. 矩形的判定定理1

活动探究: 利用一个活动的平行四边形教具演示，拉动一对不相邻的顶点时， 注意观察两条对角线的长度.

问题：我们会看到对角线会随着∠α变化而变化，当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？

猜想：当两条对角线长度相等时，平行四边形是矩形.

证一证  已知：如图，ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.

求证：ABCD是矩形.

证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，

           ∴ △ABC≌△DCB ，

           ∴∠ABC = ∠DCB.

           ∵AB∥CD，

           ∴∠ABC + ∠DCB = 180°，

           ∴ ∠ABC = 90°，

           ∴ABCD是矩形（矩形的定义）.

归纳总结 矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.

几何语言描述：

在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形.

意图：借助实物的动态变化，让学生直观感知对角线的变化带来平行四边形的改变.体会矩形是平行四边形对角线特殊化后的产物，自然引出矩形的判定定理1.

效果：学生直观感受到了平行四边形和矩形间的联系.

例1 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.

又∵OA=OD，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°.

又∵∠OAD=50°，

∴∠OAB=40°.

2. 矩形的判定定理2

问题1   上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？

逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.   成立.

问题2   至少有几个角是直角的四边形是矩形？

猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.

证一证 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.

求证：四边形ABCD是矩形.

证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°，

∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，

∴AD∥BC，AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形.

归纳总结 矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.

几何语言描述：

在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°，

∴四边形ABCD是矩形.

意图：用问题激发学生的学习兴趣，直观得出猜想，进行理论证明得出矩形的判定定理2，并将矩形的判定定理2转化为几何语言，增强学生的符号意识.

效果：学生在探究证明中体会了几何研究的一般方法.

例2  如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E.F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．