第二十一章 一元二次方程常考题型总结（五）——一元二次方程中常见易错易混问题 2023—2024学年人教版数学 九年级上册

第二十一章：一元二次方程常考题型总结（五） 一元二次方程中常见易错易混问题 题型一：忽视一元二次方程系数不为零 1. 若方程是关于的一元二次方程，则                        ． 2. 若关于的方程是一元二次方程，求不等式的解集．   3. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 且 4. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型二：忽视几何图形对方程根的要求 1. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的长，则的周长为多少   2. 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何实数值，方程总有实数根 若等腰的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的另两边长．  题型三：利用根与系数关系时未考虑根的判别式 1. 已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围 如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．  题型四：忽视实际问题对方程根的要求 1. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件． 若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到元，每件衬衫应降价多少元 每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多  题型五：考虑问题不全面，出现漏解 1. 如图，，是一条射线，，蚂蚁甲由点以的速度向点爬行，同时蚂蚁乙由点以的速度沿方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与点组成的三角形的面积为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章：一元二次方程常考题型总结（五） 一元二次方程中常见易错易混问题 题型一：忽视一元二次方程系数不为零 1. 若方程是关于的一元二次方程，则                        ． 【答案】  【解析】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为． 2. 若关于的方程是一元二次方程，求不等式的解集． 【答案】由题意知 ． 不等式为，   3. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 且 【答案】D  【解析】解：由题意可得： 且， 解得：且． 故选D． 4. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】解：由题意，得，且，解得且 所以的取值范围是且  题型二：忽视几何图形对方程根的要求 1. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的长，则的周长为多少 【答案】解：把代入方程得，解得， 则原方程为，解得，． 由这个方程的两个根恰好是等腰的两条边的长，可知： 当的腰长为，底边长为时，的周长为 当的腰长为，底边长为时，因为，不合题意，舍去． 综上所述，的周长为．   2. 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何实数值，方程总有实数根 若等腰的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的另两边长． 【答案】证明：对于一元二次方程， 无论取何实数值，方程总有实数根． 解：为等腰三角形， 有，或三种情况． 当或时，可知为方程的一个根， ， 解得或． 当时，方程为，解得或， 三角形的另两边长为，． 当时，方程为， 解得或， 三角形的另两边长为，． 当时，方程有两个相等的实数根， ，即，解得， 方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，不满足三角形三边关系，舍去． 综上可知，三角形的另两边长为，或，．  题型三：利用根与系数关系时未考虑根的判别式 1. 已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围 如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围． 【答案】解：根据题意，得， 解得 根据题意，得，，而， ，解得 又，的取值范围为  题型四：忽视实际问题对方程根的要求 1. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件． 若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到元，每件衬衫应降价多少元 每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多 【答案】设每件衬衫应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得，． 因为要尽快减少库存，所以应取． 答：每件衬衫应降价元． 由知． 因为，所以当，即时，的值最大． 即有最大值，为． 答：每件衬衫降价元时，商场每天盈利最多．  题型五：考虑问题不全面，出现漏解 1. 如图，，是一条射线，，蚂蚁甲由点以的速度向点爬行，同时蚂蚁乙由点以的速度沿方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与点组成的三角形的面积为 【答案】解：当蚂蚁甲在段时，设后两只蚂蚁与点组成的三角形的面积是，根据题意，得 ， 整理得，解