第二十一章 一元二次方程常考题型总结（四）——一元二次方程根与系数关系 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十一章：一元二次方程常考题型总结（四） 一元二次方程根与系数关系 题型一：已知方程一根，求另一根及待定系数 1. 已知关于的方程的一个根为，求它的另一根及的值． 题型二：求有关两根的代数式的值 1. 已知，是方程的两根，求： 的值 的值．   2. 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． 3. 已知方程与，且，求的值． 题型三：求字母的值或取值范围 1. 已知关于的一元二次方程的两根的平方和小于，求的取值范围． 2. 已知关于的方程有两个实数根，且两个根的平方和比两个根的积大，求的值．   3. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 题型四：已知方程判断根的符号 1. 不解方程，判断方程两根的符号．   题型五：已知两根求一元二次方程 1. 已知和是某个关于的一元二次方程的两个根，且方程中二次项系数为，请写出这个方程．   题型六：证明等式或不等式 1. 已知实数，，满足，． 求证：． 2. 已知实数，，满足 求证： 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章：一元二次方程常考题型总结（四） 一元二次方程根与系数关系 题型一：已知方程一根，求另一根及待定系数 1. 已知关于的方程的一个根为，求它的另一根及的值． 【答案】解：设方程的另一根为． 由题意得 解得 方程的另一根为，的值是． 题型二：求有关两根的代数式的值 1. 已知，是方程的两根，求： 的值 的值． 【答案】解：由已知得，． ．   2. 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． 【答案】解：，， 原式； ． ．  3. 已知方程与，且，求的值． 【答案】解：由题意得，是方程的两根， 则，． ． 题型三：求字母的值或取值范围 1. 已知关于的一元二次方程的两根的平方和小于，求的取值范围． 【答案】解：设方程的两根分别为，，则，． ， ． 又， ． 由得． 2. 已知关于的方程有两个实数根，且两个根的平方和比两个根的积大，求的值． 【答案】解：方程有两个实数根， 解这个不等式，得 设方程两根为，， 则，． ， ． ． 整理得． 解得，． 又，．   3. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得：， 的取值范围为． 关于的一元二次方程有两个实数根，， ，． ， 当时，有， 联立解得：，， ，； 当时，有， 联立解得：，不合题意，舍去． 符合条件的的值为．  题型四：已知方程判断根的符号 1. 不解方程，判断方程两根的符号． 【答案】解：对于，． 方程有两个不相等的实数根． 设方程的两个根为，，则， 原方程的两个实数根异号．   题型五：已知两根求一元二次方程 1. 已知和是某个关于的一元二次方程的两个根，且方程中二次项系数为，请写出这个方程． 【答案】解：设这个方程为． 由已知得，， ，． 这个方程为．   题型六：证明等式或不等式 1. 已知实数，，满足，． 求证：． 【答案】证明：由题设知，， ，是关于的一元二次方程的两个实根， 从而， 于是，从而． 故方程有两个相等的实数根， ． 2. 已知实数，，满足 求证： 【答案】证明：由题设条件知， ． 于是，是关于的一元二次方程的两个实根． ， 解得 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$