第二十一章 一元二次方程常考题型总结（三）——根的判别式的应用 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十一章：一元二次方程常考题型总结（三） 根的判别式的应用 题型一：判定一元二次方程根的情况 1. 不解方程，直接判别下列方程根的情况． 2. 判别下列关于的一元二次方程根的情况． ． 3. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 已知，，分别为中，，所对的边，则关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法判断 5. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为(    ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 已知方程没有实数根，其中是实数，试判断方程的根的情况． 题型二：确定方程中字母系数的值或取值范围 1. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 2. 关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根．   3. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．   4. 已知关于的方程． 求证：方程总有两个不等的实数根 已知方程的一个根为，求代数式的值要求先化简再求值． 题型三：根的判别式与几何应用 1. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． 如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由 如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由 如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 2. 已知▱的两边，的长是关于的方程的两个根． 为何值时，▱是菱形并求出菱形的边长． 若的长为，求▱的周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章：一元二次方程常考题型总结（三） 根的判别式的应用 题型一：判定一元二次方程根的情况 1. 不解方程，直接判别下列方程根的情况． 【答案】解：， ， 故方程有两不相等的实数根； ， ， 故方程有两个相等的实数根； ， 整理得 ， 故方程没有实数根． 2. 判别下列关于的一元二次方程根的情况． ． 【答案】解：， ， 方程有两个相等的实数根；   ， 方程没有实数解； ， ，   方程有两个实数根；          ， ，  方程有两个不相等的实数根．  3. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A  【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 4. 已知，，分别为中，，所对的边，则关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C  【解析】解：、、分别为的三边的长， ， ， ， 方程有两个相等的两个实数根． 故选C． 5. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为(    ) A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C  【解析】解：为实数是关于的方程， ， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 6. 已知方程没有实数根，其中是实数，试判断方程的根的情况． 【答案】解：没有实数根， ，即． 对于方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 题型二：确定方程中字母系数的值或取值范围 1. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】关于的一元二次方程有实数根， 解得且故选D． 2. 关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 【答案】解：关于的方程有实数根， ， 解得 为正整数， ， ， 则， 解得．   3. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】解：关于的方程有两个相等的实数根， ，即 或． 当时， 当时，．   4. 已知关于的方程． 求证：方程总有两个不等的实数根 已知方程的一个根为，求代数式的值要求先化简再求值． 【答案】证明：关于的方程是一元二次方程， ． 方程总有两个不等的实数根． 解：是此方程的一个根， 把代入方程中得到． 或． ， 把代入得 把代入得． 综上，原代数式的值为． 题型三：根的判别式与几何应用 1. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． 如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由 如果方程有两个