11.2 与三角形相关的角(经典）同步练习 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第二讲  与三角形相关的角

教学目标：

1. 掌握三角形内角与外角的概念。
2. 掌握三角形内角和定理，并能够证明内角和定理。
3. 掌握三角形的外角定理及其推导过程，并能够利用外角定理得出三角形的外角和。
4. 掌握三角形的稳定性，引入对角线概念，推理证明出多边形内角和公式，并求出多边形的外角和。
5.   利用内外角相关定理，解决与图形角度相关的综合类问题

知识资料

1.三角形的内角定义：三角形的边与边的夹角，叫做内角，简称三角形的角.

2.三角形外角的定义和性质：

（1）定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

外角的特征有：(1)顶点在三角形的一个顶点上．

                  (2)一条边是三角形的一边．

                (3)另一条边是三角形某条边的延长线．

注意：每个顶点处有      个外角，它们是          。（数量关系）

 （2）三角形的外角的性质

    推论1： 三角形的一个外角       和它不相邻的两个内角的和．

推论 2：三角形的一个外角       任何一个和它不相邻的内角．

3.三角形的内、外角和

（1）三角形内角和定理

定理内容：三角形内角和等于____________°.

注意：三角形的内角和为         ，与三角形的形状       关。 

直角三角形的两个锐角互余（相加为       ）。 有两个角互余的三角形是      三角形

（2）三角形的外角和为_________°.（每个顶点取一个外角，其实是算三个外角的和）

 

4.多边形的内角和

（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（2）正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

　　　 　　　　　　　　

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

多边形内角和：

…………

从五边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将五边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°×_____________；

从六边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将六边形分为______个三角形，六边形的内角和等于180°×_____________；

从n边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将n边形分为______个三角形，n 边形的内角和等于180°×_____________。

多边形内角和公式：n边形的内角和等于___________ ，外角和为___________。

5.※．三角形常见模型

角平分线的夹角与三角形内角关系的探究

(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．

  

(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系

如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．

 

 

 

 

(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系

如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究

∠BEC与∠A的关系．

 

飞镖、8字、腰刀、折角等模型

（1）飞镖模型：“燕尾”形：

如图，常见结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C                          

 

 

 

（2）8字形：

如图，AD、BC相交于O，常见结论：∠A+∠B=∠C+∠D

 

 

（3）腰刀：

如图，在△ABC中，点D是AB上任意一点，点E是AC上任意一点，连接DE，请判断∠1，∠2，∠A间的数量关系。

 

常见结论：∠1+∠2=180°+∠A

 

（4）折角

如图，将三角形沿直线DE翻折使点A在△ABC的内部得，

常用结论：∠A=（∠1+∠2）

 

 

如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，请判断α,β,γ间的数量关系。(折角）

常用结论：γ=2α+β