旋转专题训练—手拉手模型2023-2024学年人教版九年级数学 上册

旋转专题训练—手拉手模型 满分：100分 时间：100分钟 一、选择题（每小题8分，共16分）. 1．如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在的延长线上，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B． C． D．是等边三角形 2．如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论： ①； ②连接、，则； ③当时，的长度最大； ④当点是的中点时，四边形的面积等于． 其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题8分，共32分）. 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得，若平分，则 ；若平分，则 ． 4．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是 ． 5．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为 ． 6．如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的面积为 ． 三、解答题（12分+12分+12分+16分=52分）. 7．如图，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长到点，使 ，连接； （2）证明：． 8．如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，，求的长． 9．已知，如图，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明． 10．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图，两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； （2）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 旋转专题训练—手拉手模型 满分：100分 时间：100分钟 一、选择题（每小题8分，共16分）. 1．如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在的延长线上，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B． C． D．是等边三角形 【解析】选项D正确．理由：是由旋转所得，，，是等边三角形，故选：D． 2．如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论： ①； ②连接、，则； ③当时，的长度最大； ④当点是的中点时，四边形的面积等于． 其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】①在和中，，，故①正确；②，，，，，，，，垂直平分，故②正确；③由，是定长，最小时，最长，即时，最大．故③正确；④当点是的中点时，有，，，且是公共边，，，故④正确．故选：A． 二、填空题（每小题8分，共32分）. 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得，若平分，则 ；若平分，则 ． 【解析】由旋转的性质得：，，若平分，则；若平分，则与重合，；故答案为：；． 4．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是 ． 【解析】如图连接．在中，，，，根据旋转不变性可知，，，，，又，即，的最大值为（此时、、共线）．故答案为：． 5．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为 ． 【解析】如图，连接．在中，， ，，，，，，，，即，的最小值为． 6．如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的面积为 ．