主题三 第七章 第6节 利用空间向量求空间角-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教B版）

第6节　利用空间向量求空间角 [课程标准要求] 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量法在研究空间角问题中的作用. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 (0,π) 2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与 n的夹角为β,则sin θ= = .  |cos β| (2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|= ,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). |cos<n1,n2>| A C C 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 用空间向量求异面直线所成的角 [例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,E为PD的中点, O为AC的中点,AD=2AB=2AP=2. (1)证明:OE∥平面PAB; (1)证明:连接BD,则O为BD的中点, 又E为PD的中点, 所以OE∥PB. 因为PB⊂平面PAB,OE⊄平面PAB, 所以OE∥平面PAB. [例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,E为PD的中点, O为AC的中点,AD=2AB=2AP=2. (2)求异面直线PC与OE所成角的余弦值. 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选择三条两两相互垂直的直线建立空间直角坐标系. (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值. 用空间向量求直线与平面所成的角 (1)证明:OP⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求直线PC与平面PAM所成角的正弦值. 利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤 [针对训练] 如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PCD; (1)证明:因为四边形ABCD为正方形,所以AD∥BC,因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BC∥平面PAD,因为BC⊂平面PBC, 平面PAD∩平面PBC=l,所以BC∥l. 因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC, 又BC⊥CD,CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD, 所以BC⊥平面PCD. 因为l∥BC,所以l⊥平面PCD. [针对训练] 如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. 用空间向量求二面角 (1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值. 利用空间向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与两平面交线垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. [针对训练] (2022·新高考Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点. (1)证明:OE∥平面PAC; (1)证明:如图,取AB的中点D,连接DP,DO,DE.因为AP=PB,所以PD⊥AB. 因为PO为三棱锥P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC, 因为AB⊂平面ABC,所以PO⊥AB. 又PO,PD⊂平面POD,且PO∩PD=P,所以AB⊥平面POD. 因为OD⊂平面POD,所以AB⊥OD,又AB⊥AC,所以OD∥AC. 因为OD⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,所以OD∥平面PAC. 因为D,E分别为BA,BP的中点,所以DE∥PA, 因为DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC. 又OD,DE⊂平面ODE,OD∩DE=D,所以平面ODE∥平面PAC. 又OE⊂平面ODE,所以OE∥平面PAC. [针对训练] (2022·新高考Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点. (2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值. [例1] (2022·安徽合肥二检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD的中点,设平面A1BC1与平