主题三 第六章 第5节 解三角形的综合应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教B版）

第5节　解三角形的综合应用 [课程标准要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°　 D 1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测量A,B两点间的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°, ∠BCA=45°.则可以计算出A,B两点的距离为(　　) 2.如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为(　　) A 3.在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为　　　　 m.  关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 测量距离问题 距离问题的解法 选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解. [针对训练] 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离), 现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°, 则图中海洋蓝洞的口径为　　　　.  测量高度问题 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角. (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图. (3)运用正弦、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用. 测量角度问题 [例3] 如图,一艘海船从A出发,沿北偏东75°的方向航行60 km后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东15°的方向航行30 km后到达海岛C.下次若直接从A出发到达C. (1)需要航行多少千米? (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. (2)方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 正弦、余弦定理在平面几何中的应用 [例4] 在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1. (2)若AB=2BC,求cos∠BDC. 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. [例题] 如图,高山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,测得∠ABC=120°;从B处攀登400 m到达D处,回头看索道AC,测得∠ADC=150°; 从D处再攀登800 m可到达C处,则索道AC的长为　　　　 m.  点击进入 课时作业 谢谢观赏 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α: (2)南偏西α: 坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ A.20 m B.30 m C.40 m D.50 m 解析:由题意,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°,由正弦定理得=⇒ =⇒AB=50. A. m B. m C. m D. m 解析:如图,设山顶为A,塔底为C,塔顶为D, 过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B, 则易得AB=, BD=ABtan 30° =·tan 30° =× =(m), 所以CD=BC-BD=200-=(m). 解析:如图所示, 依题意∠ACE=30°,∠ECB=45°,DB=30, 所以CE=30,BE=30,在△ACE中, 由=, 得AE=10, 所以AB=(30+10) m. 答案:30+10 解析:由题意可知∠ACB=60°, 由正弦定理得=, 即=, 得BC=5(km). 答案:5 4.海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5 km,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是　　　　 km.  解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=, 从而sin B=sin(A+C)=si