主题三 第七章 第7节 空间距离及立体几何中的探索性问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第7节　空间距离及立体几何中的探索性问题 [课程标准要求] 1.会求空间中两点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离. 2.以空间向量为工具,探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件. 1.两点的距离 (1)利用A,B两点间的距离为||,结合向量的模和数量积求解. (2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||=. 2.点到直线的距离 如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得 PQ==. 3.点到平面的距离 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量 的长度,因此PQ=|·|=||=. 4.相互平行的直线与平面之间的距离 如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=. 5.相互平行的平面与平面之间的距离 如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=. 1.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　D　) A.10 B.3 C. D. 解析:=(1,2,-4),点P到平面α的距离d===. 2.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(　A　) A. B.1 C. D.2 解析:因为A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0), 所以=(1,0,0),=(-1,2,-2), 所以点A到直线BC的距离为 d=|| =|| =1× =. 3.(2022·辽宁大连三模)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若BB1=2,AB=2,则点C到直线AB1的距离为　　　　.  解析:设AC的中点为O, 建立如图所示空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B1(0,,2),C(-1,0,0), =(-1,,2),=(-2,0,0), 所以点C到直线AB1的距离为 ==. 答案: 4.已知四面体A-BCD的顶点分别为A(2,3,1),B(1,0,2),C(4,3,-1),D(0,3,-3),则点D到平面ABC的距离为　　　　.  解析:根据已知可得=(-1,-3,1),=(2,0,-2),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则即 取n=(1,0,1),又=(4,0,2),则点D到平面ABC的距离为||==3. 答案:3 空间距离 1.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点间的最短距离是(　B　) A. B. C.3 D. 解析:因为点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点, 所以可设点B(m,1-m,0),由空间两点之间的距离公式得, |AB|== =, 所以当m=时,|AB|的最小值为=,即A,B两点间的最短距离是. 2.已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH,若点P在正方体内部且满足=++,则点P到AB的距离为(　A　) A. B. C. D. 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系, 则=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(,,).又=(1,0,0), 所以在上的投影为=, 所以点P到AB的距离为=. 3.如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点,则点D到平面PEF的距离为　　　　,直线AC到平面PEF的距离为　　　　.  解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=(1,,-1),=(,1,-1),=(-1,0,1),=(0,0,1). 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z), 则即 解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3), 因此,点D到平面PEF的距离为==. 因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC, 又EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF, 所以直线AC到平面PEF的距离为==. 答案:　 4.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点,则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为　　　　.  解析:以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接AB1, 则A(0,0,0),D(0,3,0),E(3,0,),B