主题三 第七章 第4节 空间直线、平面的垂直-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　空间直线、平面的垂直 [课程标准要求] 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系,归纳出有关垂直的性质定理和判定定理,并加以证明. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 1.直线与平面垂直 (1)定义 一般地,如果直线l与平面α内的任意直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面. (2)判定定理与性质定理 定 理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性 质 定 理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 0° 的角. (2)范围:[ 0,]. 3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 定 理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性 质 定 理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 直线与平面垂直的常用结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直. (4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 1.下列命题中错误的是(　D　) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析:对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内,其他选项均是正确的. 2.(多选题)(2022·浙江杭州模拟)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题正确的是(　ACD　) A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α B.若m∥α,α∩β=n,则m∥n C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β D.若m⊥α,m∥n,n⊥β,则α∥β 解析:若m⊥α,则∃a,b⊂α且a∩b=P使得m⊥a,m⊥b,又m∥n,则n⊥a,n⊥b,由线面垂直的判定定理得n⊥α,故A正确;若m∥α,α∩β=n,如图,设m=AB,平面A1B1C1D1为平面α,m∥α,设平面ADD1A1为平面β,α∩β=A1D1=n,则m⊥n,故B错误;垂直于同一条直线的两个平面平行,故C正确;若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊥β,则α∥β,故D正确. 3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　C　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 解析:因为AB=CB,且E是AC的中点, 所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,且BE∩DE=E, 于是AC⊥平面BDE. 因为AC⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面BDE. 又AC⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE. 4.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　　心;  (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　心.  解析:(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP, 在Rt△POA,Rt△POB和 Rt△POC 中, PA=PB=PC, 所以OA=OB=OC, 即O为△ABC的外心. (2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G. 因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB, 所以PC⊥平面