主题三 第六章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　平面向量基本定理及坐标表示 [课程标准要求] 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 1.平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.“唯一的实数对”是指c用a,b表示时,表达式唯一,即如果 c=xa+yb=μa+νb,则x=μ且y=ν.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b}称为该平面上向量的一组基底.若c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式. 2.平面向量的坐标 (1)向量的正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. (2)一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y). 3.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2). (2)若a=(x,y),则λa=(λx,λy)(λ∈R). 4.向量共线的充要条件的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2. 1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. 2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为(,). 3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G(,). 1.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b等于(　B　) A.(1,2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(1,-2) 2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于(　B　) A.5 B. C. D.13 解析:因为a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2), 所以|a+b|==. 3.给出下列三个向量:a=(,),b=(1,-3),c=(-2,6).从中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为　　　　.  答案:2 4.已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),若(2a-b)∥a,则x=　　　　.  解析:2a-b=(2x-2,3-x), 因为(2a-b)∥a, 所以2x-2=x(3-x), 即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1. 答案:2或-1 5.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,P为CO的中点.若+=λ,则λ=　　　　.  解析:因为四边形ABCD为平行四边形, 所以+==2, 又=,所以+=, 又+=λ,故λ=. 答案: 平面向量基本定理的应用 [例1] (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1 (2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),则=　　　　.  解析:(1)D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量,不能作为基底;A,B,C中都能作为基底.故选D. (2)由题图可设=x(0<x<1),则=x(+)=x(+)=+x. 因为=λ+μ,与不共线, 所以λ=,μ=x,所以=. 答案:(1)D　(2) 平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. [针对训练] 1.如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:①+2;②+;③+;④+,若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 解析:由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的一对有序实数u,v,使得=u+v成立,且u+v=1. 可以证明点P位于阴影区域内(包括边界)的充要条件是满足=u+v,且u>0,v>0,u+v≥1.因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内,故①正确;同理③正确;而②④错误.故选B. 2.在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且=2,=3,若=a,=b,则等于(　　) A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b 解析:=+=+=(-)-=--=-a-b.故选C. 平面向量的坐标运算