主题二 第三章 第6节 利用导数研究函数零点-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，人教A版）

第6节　利用导数研究函数零点 1.(2022·广东汕头三模)已知函数f(x)=x-2sin x. (1)求f(x)在(0,π)上的极值; (2)证明:函数g(x)=ln x-f(x)在(0,π)上有且只有两个零点. 2.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+-5. (1)证明:f(x)<; (2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点,求实数a的取值范围. 3.(2021·全国甲卷)已知a>0,且a≠1,函数f(x)=(x>0). (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 4.设函数f(x)=ln x+,m∈R. (1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值; (2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数. 5.(2022·山东临沂一模)已知函数f(x)=ex-2a(a>0). (1)若a=e,讨论f(x)的单调性; (2)若x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,证明:1<x1+x2<2ln a+ln 2. 6.(2022·重庆三模)已知函数f(x)=ex-1-ln x-ax,a∈R. (1)当a=e-时,求函数f(x)的单调性; (2)当a>0时,若函数f(x)有唯一零点x0,证明:1<x0<2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6节　利用导数研究函数零点 1.(1)解:由f(x)=x-2sin x得 f′(x)=1-2cos x,x∈(0,π). 令f′(x)=0,得x=, 当0<x<时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减, 当<x<π时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增, 所以函数f(x)的极小值为f()=-,无极大值. (2)证明:g(x)=ln x-f(x)=ln x-x+2sin x,x∈(0,π), 则g′(x)=-1+2cos x, 令(x)=+2cos x-1, 则′(x)=--2sin x. 当x∈(0,π)时,′(x)=--2sin x<0, 则(x)在(0,π)上单调递减. 因为()=>0,()=-1<0, 所以存在x0∈(,),使得(x0)=g′(x0)=0. 当x变化时,g(x),g′(x)变化如表所示, x (0,x0) x0 (x0,π) g′(x) + 0 - g(x) 单调递增 极大值g(x0) 单调递减 而g()=ln-+>0, g(π)=ln π-π<ln e2-π=2-π<0, 则g(x0)>g()>0,又g()=ln-+1, 令h(x)=ln x-x+1,其中0<x<1, 则h′(x)=-1=>0, 所以函数h(x)在(0,1)上单调递增, 则h(x)<h(1)=0, 所以h()=ln -+1<0, 由零点存在定理可知,函数g(x)在(0,π)上有两个零点. 2.(1)证明:要证f(x)<,即证当x∈(0,+∞)时, 不等式ln x-<0恒成立. 令F(x)=ln x-, 则F′(x)=-=, 故当0<x<4时,F′(x)>0,F(x)单调递增; 当x>4时,F′(x)<0,F(x)单调递减, 则F(x)max=F(4)=ln 4-2<0,故f(x)<. (2)解:由f(x)=g(x)可得 a=+-=, 构造函数h(x)=-,其中x>0, 则h′(x)=+ =, 当0<x<1时,4-4x>0,ln x<0, 则h′(x)>0,此时函数h(x)单调递增, 当x>1时,4-4x<0,ln x>0,则h′(x)<0,此时函数h(x)单调递减, 所以h(x)max=h(1)=3, 令(x)=xln x+5x-2, 则当x>1时,(x)>5x-2>0, 当0<x<时,(x)<5x-2<0, 故存在x0∈(,1),使得(x0)=0,即h(x0)=0, 作出函数h(x)与y=a的图象如图所示, 由图可知,当0<a<3时,函数h(x)与y=a的图象有2个交点,因此,实数a的取值范围是(0,3). 3.解:(1)当a=2时,f(x)=(x>0), f′(x)=(x>0), 令f′(x)>0,则0<x<,此时函数f(x)单调递增, 令f′(x)<0,则x>,此时函数f(x)单调递减. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). (2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,可转化为方程=1(x>0)有两个不同的解, 即方程=有两个不同的解. 设g(x)=(x>0), 则g′(x)=(x>0), 令g′(x)==0,得x=e, 当0<x<e时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增, 当x>e时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减, 故g(x)max=g(e)=, 且当x>e时,g(x)∈(0,), 又g(1)=0,